Calcule o valor de y=6^x onde x=(log 3 2) (log 6 3).

Passo 1

A questão pede para calcular y = 6^x, onde x = (log3 2) cdot (log6 3). O conteúdo aqui envolve propriedades de logaritmos (mudança de base) e exponenciação.

Passo 2

Escrevendo cada logaritmo pela fórmula de mudança de base em função de logaritmo natural, temos
log3 2 = ln 2ln 3 e log6 3 = ln 3ln 6.

Passo 3

Multiplicando essas duas frações, obtemos
x = ln 2ln 3 cdot ln 3ln 6 = ln 2ln 6.

Passo 4

Pela definição de mudança de base, ln 2ln 6 = log6 2. Logo, x = log6 2.

Passo 5

Usando a propriedade de exponenciação a^loga b = b, concluímos que
y = 6^log6 2 = 2.

Resposta

2

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