Duas pessoas seguram pelas extremidades uma corda de comprimento L e densidade linear \mu. No instante t=0, as pessoas movimentam as extremidades para cima e para baixo, gerando ondas progressivas transversais e harmônicas da mesma freqüência e amplitude mas em oposição de fase. Sabendo que k L é um número ímpar de vezes \pi, onde k é o número de onda, qual das seguintes funções de onda, y_{1}(x, t) para a extremidade x=0 e y_{2}(x, t) para a extremidade x=L, não podem representar as ondas geradas nas extremidades [Sol:e)]:
a) y_{1}(x, t)=A \cos (k x-\omega t), y_{2}(x, t)=A \cos (k x+\omega t).
b) y_{1}(x, t)=-A \cos (k x-\omega t), y_{2}(x, t)=-A \cos (k x+\omega t).
c) y_{1}(x, t)=-A \operatorname{sen}(k x-\omega t), y_{2}(x, t)=A \operatorname{sen}(k x+\omega t).
d) y_{1}(x, t)=A \cos (k x-\omega t+\pi / 2), y_{2}(x, t)=A \cos (k x+\omega t-\pi / 2).
e) Todas elas podem.

Passo 1

O enunciado fala de duas ondas transversais progressivas e harmônicas de mesma amplitude A e mesma frequência \omega, uma saindo de x=0 no sentido positivo (forma geral y_1(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\phi_1) ou A\sin(kx-\omega t+\phi_1)) e outra saindo de x=L no sentido negativo (forma geral y_2(x,t)=A\cos(kx+\omega t+\phi_2) ou A\sin(kx+\omega t+\phi_2)), mas em oposição de fase nas extremidades. A condição de oposição de fase exige
y_2(L,t) \;=\;-\,y_1(0,t).
Além disso, sabe-se que kL=(2n+1)\pi com n inteiro.

Passo 2

Usamos as identidades de fase ímpar:
\cos\bigl((2n+1)\pi+\theta\bigr) \;=\;-\,\cos\theta, \quad \sin\bigl((2n+1)\pi+\theta\bigr) \;=\;-\,\sin\theta.
Como kL=(2n+1)\pi, em qualquer caso em que y_1(0,t) seja A\cos(-\omega t+\phi_1) ou A\sin(-\omega t+\phi_1), a onda refletida em x=L ganha sinal oposto.

Passo 3

Verificamos rapidamente cada caso no par x=0 e x=L:
a) y_1(0,t)=A\cos(-\omega t),
\;y_2(L,t)=A\cos(kL+\omega t)=A\cos((2n+1)\pi+\omega t)=-A\cos\omega t=-y_1(0,t).
b) y_1(0,t)=-A\cos(-\omega t)=-A\cos\omega t,
\;y_2(L,t)=-A\cos((2n+1)\pi+\omega t)=+A\cos\omega t=-y_1(0,t).
c) y_1(0,t)=-A\sin(-\omega t)=A\sin\omega t,
\;y_2(L,t)=A\sin((2n+1)\pi+\omega t)=-A\sin\omega t=-y_1(0,t).
d) y_1(0,t)=A\cos(-\omega t+\tfrac\pi2)=A\sin\omega t,
\;y_2(L,t)=A\cos((2n+1)\pi+\omega t-\tfrac\pi2)=-A\cos(\omega t-\tfrac\pi2)=-A\sin\omega t=-y_1(0,t).
Em todos os casos a condição y_2(L,t)=-y_1(0,t) é satisfeita.

Passo 4

Como todas as opções (a)–(d) satisfazem a oposição de fase exigida e usam kL=(2n+1)\pi, nenhuma delas está proibida pela condição do problema.

Resposta

e) Todas elas podem.

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