Estações FM usam ondas de rádio com frequências de 88,0 até 108 MHz para transmitir os seus sinais. Supondo que a indutância de um rádio receptor tenha um valor de 6,00 times 10^-7 H, determine a faixa de valores de capacitância necessários para que a antena possa captar todas as ondas de rádio transmitidas por estações FM.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre estações de rádio FM que usam frequências entre 88,0 e 108 MHz para transmitir sinais. A gente precisa descobrir quais valores de capacitância (C) são necessários para que a antena do rádio receptor, que tem uma indutância (L) de 6,00 × 10^{-7} H, consiga captar todas essas ondas de rádio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um circuito ressonante LC (indutor-capacitor), a frequência de ressonância (f) é dada pela fórmula:
f = 12piraizLC
Aqui, f é a frequência, L é a indutância e C é a capacitância. Nosso objetivo é encontrar os valores de C que permitem que o rádio receba todas as frequências de 88,0 a 108 MHz.

Passo 3

Vamos rearranjar a fórmula para resolver C em função de f:
C = 1(2pi f)^2 cdot L
Agora, podemos calcular C para as duas frequências extremas: 88,0 MHz e 108 MHz. Isso nos dará a faixa de capacitância necessária.

Passo 4

Vamos converter as frequências de MHz para Hz, já que as unidades do sistema internacional de unidades (SI) pedem Hertz (Hz):
  • 88,0 MHz = 88,0 × 10⁶ Hz
  • 108 MHz = 108 × 10⁶ Hz

Passo 5

Agora, vamos calcular a capacitância para f = 88,0 × 10⁶ Hz:
C = 1(2pi times 88,0 times 10^6)^2 times 6,00 times 10^-7
Vamos resolver isso passo a passo:
  1. Calcular 2πf: 2pi times 88,0 times 10^6 approx 5,530 times 10^8
  2. Elevar ao quadrado: (5,530 times 10^8)^2 approx 3,083 times 10^17
  3. Multiplicar por L: 3,083 times 10^17 times 6,00 times 10^-7 approx 1,850 times 10^11
  4. Inverter para encontrar C: C approx 11,850 times 10^11 approx 5,41 times 10^-12 F (Farads)

Passo 6

Agora, vamos calcular a capacitância para f = 108 × 10⁶ Hz:
C = 1(2pi times 108 times 10^6)^2 times 6,00 times 10^-7
Novamente, resolvendo passo a passo:
  1. Calcular 2πf: 2pi times 108 times 10^6 approx 6,796 times 10^8
  2. Elevar ao quadrado: (6,796 times 10^8)^2 approx 4,623 times 10^17
  3. Multiplicar por L: 4,623 times 10^17 times 6,00 times 10^-7 approx 2,774 times 10^11
  4. Inverter para encontrar C: C approx 12,774 times 10^11 approx 3,60 times 10^-12 F

Resposta

Portanto, para que a antena possa captar todas as ondas de rádio transmitidas pelas estações FM com frequências de 88,0 a 108 MHz, a capacitância necessária deve estar na faixa de aproximadamente 3,60 × 10⁻¹² F a 5,41 × 10⁻¹² F.

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