O estado inicial de uma partícula de massa m, confinada no intervalo 0, em um campo conservativo, é dado por
Psi(x, 0)=A sin (pi xa) e^-i E t / hbar
onde E é a energia.
Normalize este estado;

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão diz que temos um estado inicial de uma partícula presa no poço infinito de 0 a Psi(x,0)=Asin!l(pi xar),e^-iEt/hbar , dado por
e pede para normalizar esse estado.
Conteúdo: normalização de funções de onda em Mecânica Quântica.
O que precisamos:
  1. Saber que a probabilidade total tem que dar 1, ou seja
    .
  2. Calcular essa integral, lembrando que .
  3. Encontrar .

Passo 2

Escrevendo a condição de normalização:
integral0^a|Psi(x,0)|^2,dx ;=;integral0^al|Asin(tfracpi xa),e^-iEt/hbarr|^2dx ;=;integral0^a|A|^2sin^2!l(tfracpi xar),dx ;=;1
Como , ficou só fora do integrando.

Passo 3

Agora calculamos
|A|^2integral0^asin^2!l(pi xar),dx
Usamos a identidade
integral0^asin^2!l(pi xar),dx =integral0^a1-cos!(2pi x/a)2,dx =12l[x-a2pisin!l(tfrac2pi xar)r]0^a .
Então
12l[a-0r]=a2
Avalia: , logo dá

Passo 4

Substituindo de volta em
|A|^2,a2=1 Longrightarrow |A|^2=2a ,
temos
Escolhemos real e positivo:
.

Resposta

boxedPsi(x,t)=raiz2a;sin!l(pi xar);e^-iEt/hbar

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