Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
\sigma_{x}=100 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-200 \mathrm{MPa}, \tau_{x y}=150 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado fornece as componentes do estado plano de tensões e pede várias grandezas. Dados fornecidos:
  • \sigma_x = 100\\ \mathrm{MPa}
  • \sigma_y = -200\\ \mathrm{MPa}
  • \tau_{xy} = 150\\ \mathrm{MPa}
O que é pedido:
  1. As tensões normais principais ( \sigma_1 e \sigma_2).
  2. Os planos principais (os ângulos \theta_p medidos a partir do eixo x onde aparecem as tensões principais).
  3. A máxima tensão de cisalhamento no plano ab.
  4. A tensão de cisalhamento máxima (valor máximo de cisalhamento que o elemento pode ter).
  5. Fazer os desenhos esquemáticos do elemento: (a) elemento original com \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}; (b) elemento orientado nos planos principais (sem cisalhamento); (c) elemento nas direções de máxima cisalhamento.
Observação importante: o enunciado menciona o "plano ab" mas não informa a orientação desse plano (não há figura fornecida). Sem a orientação do plano ab não é possível dar numericamente a tensão de cisalhamento específica nesse plano. Vou: (i) explicar a fórmula geral para a tensão de cisalhamento em um plano que faça um ângulo \theta com o eixo x; (ii) calcular o caso óbvio quando o plano ab for o plano inicial (plano normal ao eixo x ou y), e (iii) deixar a fórmula pronta para qualquer \theta_{ab} caso seja dada depois.

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (explicadas com calma).
  • Interpretação física:
    • \sigma_x e \sigma_y são tensões normais atuando nas faces cujas normais são os eixos x e y respectivamente. Tensões positivas são tração (puxam para fora); tensões negativas são compressão (apertam para dentro).
    • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento na face normal ao eixo x; a componente na face normal ao eixo y é \tau_{yx}=-\tau_{xy} (equilíbrio de momento). O sinal depende da convenção, aqui tomamos a convenção clássica de transformação de tensões.
  • Fórmula das tensões principais (solve da equação característica):
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}}.
Explicação: \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é a tensão média (centro do círculo de Mohr) e a raiz quadrada é o raio do círculo de Mohr — ela mede a “diferença” devido ao desbalanceamento entre \sigma_x,\sigma_y e ao cisalhamento \tau_{xy}.
  • Ângulo dos planos principais:
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Explicação: \theta_p é o ângulo (a partir do eixo x) da normal ao plano onde a tensão de cisalhamento é zero e aparece \sigma_1 (o maior) ou \sigma_2 (o menor). A equação dá 2\theta_p porque a transformação de tensões depende de 2\theta (rotina de seno/cosseno dupla).
  • Tensões numa face que tem normal formando ângulo \theta com o eixo x (útil para calcular cisalhamento em qualquer plano):
\sigma_n(\theta)=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos(2\theta) + \tau_{xy}\sin(2\theta),
\tau_{n t}(\theta) = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin(2\theta) + \tau_{xy}\cos(2\theta).
Explicação: \sigma_n é a tensão normal na face cuja normal faz \theta com x; \tau_{nt} é a tensão de cisalhamento nessa face (módulo e sinal conforme a convenção).
  • Tensão de cisalhamento máxima (valor absoluto máximo em qualquer plano):
\tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}} = \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}.
Explicação: é o raio do círculo de Mohr. O plano onde ocorre \tau_{\max} é inclinado em \theta_s = \theta_p \pm 45^\circ (porque nos leva ao quadrante do círculo de Mohr onde o cisalhamento é máximo).

Passo 3

Calcular quantidades intermediárias com os números fornecidos.
  • Tensão média (centro do círculo de Mohr):
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{100 + (-200)}{2} = \frac{-100}{2} = -50\\ \mathrm{MPa}.
  • Meia-diferença \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} = \frac{100 - (-200)}{2} = \frac{300}{2} = 150\\ \mathrm{MPa}.
  • Calcular o termo dentro da raiz:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 = 150^{2} + 150^{2} = 22500 + 22500 = 45000\\ (\mathrm{MPa}^2).
  • Raiz:
\sqrt{45000} \approx 212{,}132\\ \mathrm{MPa}.
(Explanação rápida: 45000=45\times1000, a raiz aproximada é 212{,}132.)

Passo 4

Calcular as tensões principais usando a fórmula.
\sigma_{1} = -50 + 212{,}132 \approx 162{,}132\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{2} = -50 - 212{,}132 \approx -262{,}132\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando para duas casas decimais:
\sigma_{1} \approx 162{,}13\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{2} \approx -262{,}13\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: \sigma_1 é tração (positivo) e \sigma_2 é compressão (negativo) e estão separados por \sigma_1-\sigma_2 \approx 424{,}26\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Determinar os ângulos dos planos principais.
Calculemos 2\theta_p pela fórmula:
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} = \frac{2\cdot150}{100-(-200)} = \frac{300}{300} = 1.
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2\theta_p = 45^\circ + k\cdot 180^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta_p = 22{,}5^\circ + k\cdot 90^\circ.
As duas direções principais (normais aos planos onde atuam \sigma_1 e \sigma_2) são:
\theta_{p1} = 22{,}5^\circ\quad\text{e}\quad \theta_{p2} = 112{,}5^\circ.
Explicação: as direções principais estão separadas por 90^\circ. Em \theta_{p1}=22{,}5^\circ atua \sigma_1 como tensão normal (a face normal a esse ângulo tem \sigma_n=\sigma_1 e \tau_{nt}=0).

Passo 6

Tensão de cisalhamento no plano ab (caso ambíguo) — explicação e casos práticos.
  • Como observado no Passo 1, a orientação do plano ab não foi informada no enunciado. Sem \theta_{ab} (o ângulo que a normal do plano ab faz com o eixo x) não é possível dar um valor numérico único para a tensão de cisalhamento nesse plano.
  • Fórmula geral (repetindo, útil para calcular se \theta_{ab} for conhecida):
\tau_{ab} \equiv \tau_{nt}(\theta_{ab}) = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin(2\theta_{ab}) + \tau_{xy}\cos(2\theta_{ab}).
Se for fornecido \theta_{ab}, basta substituir nessa fórmula e obter o valor.
  • Caso especial: se o plano ab for a face original normal ao eixo x (ou seja \theta_{ab}=0), então a tensão de cisalhamento nessa face é simplesmente \tau_{xy} = 150\\ \mathrm{MPa}. Se ab for a face original normal ao eixo y ( \theta_{ab}=90^\circ), a tensão de cisalhamento nessa face será \tau_{yx} = -\tau_{xy} = -150\\ \mathrm{MPa} (conforme a convenção de sinais).
  • Resumo prático: sem a orientação do plano ab -> não dá para numericamente; se ab for o plano original com normal em x então \tau_{ab}=150\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Calcular a tensão de cisalhamento máxima (valor absoluto máximo em qualquer plano).
Usando a fórmula do raio do círculo de Mohr:
\tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}} = \sqrt{45000} \approx 212{,}132\\ \mathrm{MPa}.
Arredondado:
\tau_{\max} \approx 212{,}13\\ \mathrm{MPa}.
Observação: este valor coincide com \dfrac{\sigma_1-\sigma_2}{2}, pois \sigma_1-\sigma_2 \approx 424{,}26\\ \mathrm{MPa}.
O plano onde ocorre \tau_{\max} tem sua normal inclinada em
\theta_s = \theta_p \pm 45^\circ.
Com \theta_p = 22{,}5^\circ obtemos \theta_s = 67{,}5^\circ e -22{,}5^\circ (ou, somando 180^\circ, 157{,}5^\circ), que são as direções normais aos planos de máxima cisalhamento.

Passo 8

Como desenhar (instruções passo a passo para fazer os desenhos pedidos; desenhe com lápis e rotule os valores numéricos).
  1. Elemento original (sistema x,y):
    • Desenhe um quadrado representando um elemento de área plana.
    • Na face direita (normal ao eixo +x) coloque uma seta horizontal para fora (se positiva) com rótulo \sigma_x=100\\ \mathrm{MPa} — como é tração, a seta aponta para fora. Na face esquerda coloque a seta oposta (equilíbrio).
    • Na face superior (normal ao eixo +y) coloque uma seta vertical apontando para dentro rotulada \sigma_y=-200\\ \mathrm{MPa} (compressão). Na face inferior coloque a seta oposta.
    • Adicione nas faces correspondentes as tensões de cisalhamento: na face com normal +x desenhe uma seta vertical para cima (ou para baixo, use a convenção) rotulada \tau_{xy}=150\\ \mathrm{MPa}; na face com normal +y desenhe a tensão \tau_{yx}=-150\\ \mathrm{MPa} (sinal contrário).
  2. Elemento nos planos principais:
    • Desenhe um quadrado girado de \theta_{p1}=22{,}5^\circ (a normal da face direita do quadrado faz esse ângulo com o eixo x).
    • Nas faces desse quadrado escreva \sigma_1 \approx 162{,}13\\ \mathrm{MPa} (na face cuja normal é \theta_{p1}) e \sigma_2 \approx -262{,}13\\ \mathrm{MPa} (na face normal a \theta_{p2}=112{,}5^\circ). Não há tensões de cisalhamento nessas faces (colocar \tau=0).
  3. Elemento nas direções de máxima cisalhamento:
    • Desenhe um quadrado girado para que sua face tenha normal \theta_s = 67{,}5^\circ (ou -22{,}5^\circ).
    • Nas faces desenhe as tensões de cisalhamento \pm\tau_{\max} \approx \pm 212{,}13\\ \mathrm{MPa} (setas tangenciais em sentidos opostos nas faces opostas).
    • Nas mesmas faces coloque a tensão normal média \sigma_{m} = -50\\ \mathrm{MPa} (ou seja, as faces de máxima cisalhamento têm também uma tensão normal igual ao centro do círculo de Mohr).
    • Dica: na face onde há \tau_{\max} positiva, o par de setas tangenciais nas faces opostas apontam em direções que tendem a girar o elemento (um par para girar sentido horário, outro anti-horário).
  4. Opcional: desenhe o círculo de Mohr:
    • Centro em -50 no eixo das tensões normais (eixo horizontal do círculo).
    • Raio aproximadamente 212{,}13.
    • Ponto no eixo das normais correspondente a \sigma_x=100 (marcado) e outro correspondente a \sigma_y=-200.
    • A partir daí fica imediato ver \sigma_1,\sigma_2 e \tau_{\max}.
Essas instruções permitem fazer os desenhos à mão e rotular com os valores numéricos corretos.

Resposta

Tensão normal principal \sigma_1 \approx 162{,}13\\ \mathrm{MPa}
Tensão normal principal \sigma_2 \approx -262{,}13\\ \mathrm{MPa}
Planos principais (normais aos planos onde atuam \sigma_1,\sigma_2): \theta_{p1}=22{,}5^\circ e \theta_{p2}=112{,}5^\circ (medidos a partir do eixo x)
Máxima tensão de cisalhamento no plano ab: não é possível determinar numericamente porque a orientação do plano ab não foi fornecida; se o plano ab for o plano original com normal ao eixo x, então \tau_{ab}=\tau_{xy}=150\\ \mathrm{MPa}
Tensão de cisalhamento máxima (em qualquer plano): \tau_{\max} \approx 212{,}13\\ \mathrm{MPa}

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