Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
Passo 1
O enunciado fornece as componentes do estado plano de tensões e pede várias grandezas. Dados fornecidos:
O que é pedido:
- As tensões normais principais (
e ). - Os planos principais (os ângulos
medidos a partir do eixo onde aparecem as tensões principais). - A máxima tensão de cisalhamento no plano
. - A tensão de cisalhamento máxima (valor máximo de cisalhamento que o elemento pode ter).
- Fazer os desenhos esquemáticos do elemento: (a) elemento original com
; (b) elemento orientado nos planos principais (sem cisalhamento); (c) elemento nas direções de máxima cisalhamento.
Observação importante: o enunciado menciona o "plano
" mas não informa a orientação desse plano (não há figura fornecida). Sem a orientação do plano
não é possível dar numericamente a tensão de cisalhamento específica nesse plano. Vou: (i) explicar a fórmula geral para a tensão de cisalhamento em um plano que faça um ângulo
com o eixo
; (ii) calcular o caso óbvio quando o plano
for o plano inicial (plano normal ao eixo
ou
), e (iii) deixar a fórmula pronta para qualquer
caso seja dada depois.
Passo 2
Conceitos e fórmulas necessárias (explicadas com calma).
-
Interpretação física:
-
e são tensões normais atuando nas faces cujas normais são os eixos e respectivamente. Tensões positivas são tração (puxam para fora); tensões negativas são compressão (apertam para dentro). -
é a tensão de cisalhamento na face normal ao eixo ; a componente na face normal ao eixo é (equilíbrio de momento). O sinal depende da convenção, aqui tomamos a convenção clássica de transformação de tensões.
-
-
Fórmula das tensões principais (solve da equação característica):
Explicação:
é a tensão média (centro do círculo de Mohr) e a raiz quadrada é o raio do círculo de Mohr — ela mede a “diferença” devido ao desbalanceamento entre
e ao cisalhamento
.
- Ângulo dos planos principais:
Explicação:
é o ângulo (a partir do eixo
) da normal ao plano onde a tensão de cisalhamento é zero e aparece
(o maior) ou
(o menor). A equação dá
porque a transformação de tensões depende de
(rotina de seno/cosseno dupla).
- Tensões numa face que tem normal formando ângulo
com o eixo (útil para calcular cisalhamento em qualquer plano):
Explicação:
é a tensão normal na face cuja normal faz
com
;
é a tensão de cisalhamento nessa face (módulo e sinal conforme a convenção).
- Tensão de cisalhamento máxima (valor absoluto máximo em qualquer plano):
Explicação: é o raio do círculo de Mohr. O plano onde ocorre
é inclinado em
(porque nos leva ao quadrante do círculo de Mohr onde o cisalhamento é máximo).
Passo 3
Calcular quantidades intermediárias com os números fornecidos.
- Tensão média (centro do círculo de Mohr):
- Meia-diferença
:
- Calcular o termo dentro da raiz:
- Raiz:
(Explanação rápida:
, a raiz aproximada é
.)
Passo 4
Calcular as tensões principais usando a fórmula.
Arredondando para duas casas decimais:
Interpretação:
é tração (positivo) e
é compressão (negativo) e estão separados por
.
Passo 5
Determinar os ângulos dos planos principais.
Calculemos
pela fórmula:
Logo
As duas direções principais (normais aos planos onde atuam
e
) são:
Explicação: as direções principais estão separadas por
. Em
atua
como tensão normal (a face normal a esse ângulo tem
e
).
Passo 6
Tensão de cisalhamento no plano
(caso ambíguo) — explicação e casos práticos.
-
Como observado no Passo 1, a orientação do plano
não foi informada no enunciado. Sem (o ângulo que a normal do plano faz com o eixo ) não é possível dar um valor numérico único para a tensão de cisalhamento nesse plano. -
Fórmula geral (repetindo, útil para calcular se
for conhecida):
Se for fornecido
, basta substituir nessa fórmula e obter o valor.
-
Caso especial: se o plano
for a face original normal ao eixo (ou seja ), então a tensão de cisalhamento nessa face é simplesmente . Se for a face original normal ao eixo ( ), a tensão de cisalhamento nessa face será (conforme a convenção de sinais). -
Resumo prático: sem a orientação do plano
-> não dá para numericamente; se for o plano original com normal em então .
Passo 7
Calcular a tensão de cisalhamento máxima (valor absoluto máximo em qualquer plano).
Usando a fórmula do raio do círculo de Mohr:
Arredondado:
Observação: este valor coincide com
, pois
.
O plano onde ocorre
tem sua normal inclinada em
Com
obtemos
e
(ou, somando
,
), que são as direções normais aos planos de máxima cisalhamento.
Passo 8
Como desenhar (instruções passo a passo para fazer os desenhos pedidos; desenhe com lápis e rotule os valores numéricos).
-
Elemento original (sistema
): - Desenhe um quadrado representando um elemento de área plana.
- Na face direita (normal ao eixo
) coloque uma seta horizontal para fora (se positiva) com rótulo — como é tração, a seta aponta para fora. Na face esquerda coloque a seta oposta (equilíbrio). - Na face superior (normal ao eixo
) coloque uma seta vertical apontando para dentro rotulada (compressão). Na face inferior coloque a seta oposta. - Adicione nas faces correspondentes as tensões de cisalhamento: na face com normal
desenhe uma seta vertical para cima (ou para baixo, use a convenção) rotulada ; na face com normal desenhe a tensão (sinal contrário).
-
Elemento nos planos principais:
- Desenhe um quadrado girado de
(a normal da face direita do quadrado faz esse ângulo com o eixo ). - Nas faces desse quadrado escreva
(na face cuja normal é ) e (na face normal a ). Não há tensões de cisalhamento nessas faces (colocar ).
- Desenhe um quadrado girado de
-
Elemento nas direções de máxima cisalhamento:
- Desenhe um quadrado girado para que sua face tenha normal
(ou ). - Nas faces desenhe as tensões de cisalhamento
(setas tangenciais em sentidos opostos nas faces opostas). - Nas mesmas faces coloque a tensão normal média
(ou seja, as faces de máxima cisalhamento têm também uma tensão normal igual ao centro do círculo de Mohr). - Dica: na face onde há
positiva, o par de setas tangenciais nas faces opostas apontam em direções que tendem a girar o elemento (um par para girar sentido horário, outro anti-horário).
- Desenhe um quadrado girado para que sua face tenha normal
-
Opcional: desenhe o círculo de Mohr:
- Centro em
no eixo das tensões normais (eixo horizontal do círculo). - Raio aproximadamente
. - Ponto no eixo das normais correspondente a
(marcado) e outro correspondente a . - A partir daí fica imediato ver
e .
- Centro em
Essas instruções permitem fazer os desenhos à mão e rotular com os valores numéricos corretos.
Resposta
Tensão normal principal
Tensão normal principal
Planos principais (normais aos planos onde atuam ):
e
(medidos a partir do eixo
)
Máxima tensão de cisalhamento no plano : não é possível determinar numericamente porque a orientação do plano
não foi fornecida; se o plano
for o plano original com normal ao eixo
, então
Tensão de cisalhamento máxima (em qualquer plano):
Tensão normal principal
Planos principais (normais aos planos onde atuam
Máxima tensão de cisalhamento no plano
Tensão de cisalhamento máxima (em qualquer plano):