O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda
, onde
e
são os números quânticos e
e
são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas. A energia de um de um estado quântico é dada por
. Quantos estados quânticos de ocupação existem para
levando em conta todas as possibilildades permitidas para os quatro números quânticos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre o átomo de Hidrogênio e os estados quânticos de um elétron ligado a ele. A questão pede para descobrir quantos estados quânticos existem quando o número quântico principal $ n $ é igual a 11, considerando todas as possibilidades para os quatro números quânticos: $ n $, $ l $, $ m_l $ e $ m_s $. Vamos precisar entender como esses números quânticos funcionam e como eles se relacionam para encontrar o total de estados possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada número quântico representa:
- Número quântico principal ($ n $): Indica o nível de energia do elétron e está relacionado ao tamanho da órbita.
- Número quântico azimutal ($ l $): Relaciona-se à forma da órbita e pode ter valores de 0 até $ n-1 $.
- Número quântico magnético ($ m_l $): Define a orientação da órbita no espaço e pode variar de $ -l $ até $ l $.
- Número quântico de spin ($ m_s $): Representa o spin do elétron, podendo ser $ +\frac{1}{2} $ ou $ -\frac{1}{2} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas opções temos para cada número quântico quando $ n = 11 $:
-
Para $ l $: Como $ l $ pode variar de 0 até $ n-1 $, temos:Então, existem 11 possíveis valores para $ l $.
-
Para cada $ l $, $ m_l $: Ele varia de $ -l $ até $ l $, incluindo zero. Isso significa que para cada valor de $ l $, temos $ 2l + 1 $ valores possíveis de $ m_l $.
-
Para cada $ m_l $, $ m_s $: Só temos 2 possibilidades, $ +\frac{1}{2} $ ou $ -\frac{1}{2} $.
Passo 4
Vamos agora calcular o número total de estados quânticos:
Para cada valor de $ l $, o número de combinações de $ m_l $ e $ m_s $ é:
Isso porque temos $ 2l + 1 $ opções para $ m_l $ e 2 para $ m_s $.
Então, o total de estados para $ n = 11 $ será a soma de todas essas combinações para cada $ l $ de 0 a 10:
Passo 5
Vamos calcular essa soma passo a passo:
A sequência dentro dos colchetes é uma progressão aritmética com diferença 2, começando em 1 e terminando em 21. O número de termos dessa sequência é igual a $ l = 0 $ até $ l = 10 $, ou seja, 11 termos.
A soma de uma progressão aritmética é dada por:
onde $ n $ é o número de termos, $ a_1 $ é o primeiro termo e $ a_n $ é o último termo.
Aplicando:
Então:
Resposta
Existem 242 estados quânticos de ocupação para $ n = 11 $ considerando todas as possibilidades dos números quânticos.