O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda Psin, l, ml, ms(r, theta, phi), onde n, l, ml e ms são os números quânticos e r, theta e phi são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas. A energia de um de um estado quântico é dada por En=-k e^22 n o 1n^2. Quantos estados quânticos de ocupação existem para n=11 levando em conta todas as possibilildades permitidas para os quatro números quânticos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre o átomo de Hidrogênio e os estados quânticos de um elétron ligado a ele. A questão pede para descobrir quantos estados quânticos existem quando o número quântico principal $ n $ é igual a 11, considerando todas as possibilidades para os quatro números quânticos: $ n $, $ l $, $ m_l $ e $ m_s $. Vamos precisar entender como esses números quânticos funcionam e como eles se relacionam para encontrar o total de estados possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada número quântico representa:
  • Número quântico principal ($ n $): Indica o nível de energia do elétron e está relacionado ao tamanho da órbita.
  • Número quântico azimutal ($ l $): Relaciona-se à forma da órbita e pode ter valores de 0 até $ n-1 $.
  • Número quântico magnético ($ m_l $): Define a orientação da órbita no espaço e pode variar de $ -l $ até $ l $.
  • Número quântico de spin ($ m_s $): Representa o spin do elétron, podendo ser $ +\frac{1}{2} $ ou $ -\frac{1}{2} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular quantas opções temos para cada número quântico quando $ n = 11 $:
  1. Para $ l $: Como $ l $ pode variar de 0 até $ n-1 $, temos:
    n = 11
    Então, existem 11 possíveis valores para $ l $.
  2. Para cada $ l $, $ m_l $: Ele varia de $ -l $ até $ l $, incluindo zero. Isso significa que para cada valor de $ l $, temos $ 2l + 1 $ valores possíveis de $ m_l $.
  3. Para cada $ m_l $, $ m_s $: Só temos 2 possibilidades, $ +\frac{1}{2} $ ou $ -\frac{1}{2} $.

Passo 4

Vamos agora calcular o número total de estados quânticos:
Para cada valor de $ l $, o número de combinações de $ m_l $ e $ m_s $ é:
l
Isso porque temos $ 2l + 1 $ opções para $ m_l $ e 2 para $ m_s $.
Então, o total de estados para $ n = 11 $ será a soma de todas essas combinações para cada $ l $ de 0 a 10:
ml

Passo 5

Vamos calcular essa soma passo a passo:
Total de estados &= 2 times suml=0^10 (2l + 1) &= 2 times [ (2 times 0 + 1) + (2 times 1 + 1) + ldots + (2 times 10 + 1) ] &= 2 times [1 + 3 + 5 + ldots + 21]
A sequência dentro dos colchetes é uma progressão aritmética com diferença 2, começando em 1 e terminando em 21. O número de termos dessa sequência é igual a $ l = 0 $ até $ l = 10 $, ou seja, 11 termos.
A soma de uma progressão aritmética é dada por:
l = 0
onde $ n $ é o número de termos, $ a_1 $ é o primeiro termo e $ a_n $ é o último termo.
Aplicando:
l = 10
Então:
S = n2 times (a1 + an)

Resposta

Existem 242 estados quânticos de ocupação para $ n = 11 $ considerando todas as possibilidades dos números quânticos.

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