Sempre que necessário nos problemas, use
velocidade do som no ar =343 m / s=1.125 jt / s
e
densidade do ar =1.2 / kg / m^*
a não ser que sejam especificados outros valores.
Você está parado a uma distância D de uma fonte que emite ondas sonoras, de forma igual, em todas as direções. Caminha 50.0 m em direção à fonte e observa que a intensidade das ondas foi dobrada. Calcule a distância D.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Você está a uma distância D de uma fonte que emite ondas sonoras igualmente em todas as direções. Ao caminhar 50 metros em direção a essa fonte, você percebe que a intensidade do som dobrou. O conteúdo aqui envolve a intensidade sonora e como ela se relaciona com a distância da fonte. Para resolver isso, precisamos lembrar que a intensidade sonora varia inversamente com o quadrado da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da intensidade sonora ( I):
I = P4pi r^2
Onde:
  • P é a potência da fonte sonora,
  • r é a distância da fonte.
Essa fórmula nos diz que a intensidade diminui com o aumento da distância devido à dispersão das ondas sonoras em todas as direções.

Passo 3

Inicialmente, quando você está a distância D, a intensidade sonora é:
I1 = P4pi D^2
Após caminhar 50 metros em direção à fonte, a nova distância é D - 50, e a intensidade passa a ser:
I2 = P4pi (D - 50)^2

Passo 4

De acordo com o enunciado, a intensidade sonora dobrou ao diminuir a distância. Portanto, podemos escrever:
I2 = 2I1
Substituindo as expressões de I1 e I2, temos:
P4pi (D - 50)^2 = 2 cdot P4pi D^2

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por P4pi:
1(D - 50)^2 = 2D^2

Passo 6

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por D^2 (D - 50)^2 para eliminar os denominadores:
D^2 = 2(D - 50)^2

Passo 7

Expandindo o lado direito da equação:
D^2 = 2(D^2 - 100D + 2500)
D^2 = 2D^2 - 200D + 5000

Passo 8

Vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado:
D^2 - 2D^2 + 200D - 5000 = 0
- D^2 + 200D - 5000 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
D^2 - 200D + 5000 = 0

Passo 9

Agora, temos uma equação quadrática na forma ax^2 + bx + c = 0, onde:
  • a = 1
  • b = -200
  • c = 5000
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
D = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
D = 200 pm raiz(-200)^2 - 4 cdot 1 cdot 50002
D = 200 pm raiz40000 - 200002
D = 200 pm raiz200002
D = 200 pm 141.422

Passo 10

Isso nos dá duas possíveis soluções:
  1. D = 200 + 141.422 = 341.422 = 170.71 metros
  2. D = 200 - 141.422 = 58.582 = 29.29 metros
Contudo, como você caminhou 50 metros em direção à fonte, a distância inicial D deve ser maior que 50 metros. Portanto, a solução válida é:
D = 170.71 metros

Resposta

A distância D é aproximadamente 170,71 metros.

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