O estado de tensões em um dado ponto de um sólido deformável é dado pelas seguintes tensões ( MPa ):
\mathrm{T}=\left[\begin{array}{ccc} 16,8 & 9,6 & 7,2 \\\\ 9,6 & 29,6 & 0 \\\\ 7,2 & 0 & 29,6 \end{array}\right]
Admitindo que o material seja isótropo e possua comportamento elástico-linear, determine:
a) o tensor das pequenas deformações no ponto;
b) a máxima distorção e o máximo alongamento possíveis de serem obtidos neste ponto;
São dados: E=200 \mathrm{GPa} ; v=0,25.

Passo 1

O enunciado dá o tensor de tensões em um ponto
T = \begin{pmatrix} 16{,}8 & 9{,}6 & 7{,}2\\\\ 9{,}6 & 29{,}6 & 0\\\\ 7{,}2 & 0 & 29{,}6 \end{pmatrix}\text{ MPa}
e pede (a) o tensor de pequenas deformações \epsilon sob comportamento elástico-linear isotrópico com \;E=200\text{ GPa},\;\nu=0,25, e (b) o máximo alongamento e a máxima distorção possíveis neste ponto.
Conteúdo: usar a lei de Hooke 3D invertida para obter \epsilon_{ij} em função de \sigma_{ij}, depois achar as deformações principais (autovalores de \epsilon) e calcular \displaystyle \epsilon_{\max} e \tfrac{\epsilon_{\max}-\epsilon_{\min}}{2}.

Passo 2

A relação inversa de Hooke em 3D é
\epsilon_{ij} =\frac{1+\nu}{E}\,\sigma_{ij} -\frac{\nu}{E}\,\sigma_{kk}\,\delta_{ij}.
Aqui \sigma_{ij}=T_{ij} e
\sigma_{kk} =16{,}8+29{,}6+29{,}6 =76{,}0\text{ MPa}.
Como E=200\text{ GPa}=200\,000\text{ MPa} e 1+\nu=1{,}25, \nu=0{,}25:
\frac{1+\nu}{E}=6{,}25\times10^{-6},\quad \frac{\nu}{E}=1{,}25\times10^{-6}.

Passo 3

Aplicando componente a componente:
– Normais
\epsilon_{xx} =6{,}25\times10^{-6}\cdot16{,}8 -1{,}25\times10^{-6}\cdot76 =(105-95)\times10^{-6} =10\times10^{-6},
\epsilon_{yy} =6{,}25\times10^{-6}\cdot29{,}6 -1{,}25\times10^{-6}\cdot76 =(185-95)\times10^{-6} =90\times10^{-6},
\epsilon_{zz}=90\times10^{-6}.
– Cisalhamentos (tensor simétrico)
\epsilon_{xy} =6{,}25\times10^{-6}\cdot9{,}6 =60\times10^{-6},\quad \epsilon_{xz} =6{,}25\times10^{-6}\cdot7{,}2 =45\times10^{-6},\quad \epsilon_{yz}=0.
Logo
\epsilon=\begin{pmatrix} 10 & 60 & 45\\\\ 60 & 90 & 0\\\\ 45 & 0 & 90 \end{pmatrix}\times10^{-6}.

Passo 4

Para achar as deformações principais, resolvemos \det(\epsilon-\epsilon_iI)=0. Em microdeformações \times10^{-6}, o polinômio dá raízes
\epsilon_1=135,\quad \epsilon_2=90,\quad \epsilon_3=-35 \quad(\text{todas}\times10^{-6}).

Passo 5

O máximo alongamento é o maior valor principal:
\epsilon_{\max}=\epsilon_1=135\times10^{-6}.
A máxima distorção (máxima componente de cisalhamento principal) é
\frac{\epsilon_1-\epsilon_3}{2} =\frac{135-(-35)}{2}\times10^{-6} =85\times10^{-6}.

Resposta

(a)
\epsilon = \begin{pmatrix} 10 & 60 & 45\\\\ 60 & 90 & 0\\\\ 45 & 0 & 90 \end{pmatrix}\times10^{-6}.
(b)
Máximo alongamento: \epsilon_{\max}=135\times10^{-6}.
Máxima distorção: \displaystyle\frac{\epsilon_{\max}-\epsilon_{\min}}{2}=85\times10^{-6}.

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