Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
Passo 1
O enunciado dá um estado plano de tensões com os valores:
O que se pede:
- As tensões normais principais
e . - Os planos principais (as direções angulares onde essas tensões atuam).
- A máxima tensão de cisalhamento no plano
(interpreto aqui como o valor de cisalhamento existente no plano original do elemento, ou seja fornecido). - A tensão de cisalhamento máxima (a maior tensão de cisalhamento possível ao rotacionar o plano).
- Fazer os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões (vou descrever detalhadamente como desenhar os três elementos relevantes: o elemento original, o elemento alinhado com os eixos principais e o elemento onde a cisalha é máxima).
Passo 2
Fórmulas úteis (explicadas com calma):
- A tensão média (centro de Mohr) é a média das tensões normais:
Aqui
é o valor médio em torno do qual ficam as tensões principais;
e
são as tensões normais nos eixos
e
;
é a tensão de cisalhamento no plano original.
- O raio do círculo de Mohr (que mede a “amplitude” das tensões em rotação) é
Esse
é a magnitude máxima de variação a partir de
.
- As tensões principais (valores máximos e mínimos de tensão normal, onde o cisalhamento local é zero) são
com
sendo a maior (o sinal
) e
a menor (o sinal
).
Agora calculamos passo a passo com os números dados.
Passo 3
Calculemos a média e o raio:
Assim as tensões principais são
Vou explicar o que esses números significam: ao girar o elemento plano no plano
, há duas direções ortogonais (planos) onde a tensão normal alcança valores extremos e a tensão de cisalhamento local é zero. Esses extremos são
e
.
Passo 4
Determinar os ângulos dos planos principais (explicando a fórmula e cada termo):
- A fórmula para a direção principal (ângulo
medido a partir do eixo ) é
Aqui
aparece porque as propriedades de tensão repetem-se a cada
no elemento físico (ou
no círculo de Mohr);
é o ângulo entre o eixo
e a direção onde atua uma tensão principal.
Substituindo os valores:
Então
portanto
As direções de planos principais são
e
. Ou seja:
Comentário sobre qual ângulo corresponde a
: usando a convenção padrão, o ângulo calculado por
aponta a direção de um dos planos principais; verificando o sinal (ou substituindo
na expressão para
) confirma-se que a direção
corresponde à tensão
(a outra,
, corresponde a
).
Passo 5
Máxima tensão de cisalhamento no plano
e tensão de cisalhamento máxima geral:
- Se por "no plano
" o enunciado refere-se ao plano original do elemento (o plano onde os dados foram dados), então a tensão de cisalhamento nesse plano vale exatamente o valor fornecido:
Isto é simplesmente a tensão de cisalhamento que age na face original do elemento.
- A tensão de cisalhamento máxima possível (ao escolher o plano ótimo) para um estado bidimensional é igual ao raio
calculado no círculo de Mohr, ou equivalentemente
Usando nossos valores,
As direções dos planos onde a cisalha máxima atua são a
em relação às direções principais. Portanto o ângulo das faces de máxima cisalha em relação ao eixo
é
e a outra é
.
Explicação rápida: nos planos de cisalhamento máximo a normal tem o valor médio
e a cisalha é
.
Passo 6
Como desenhar os elementos (instruções passo a passo para fazer os três desenhos pedidas — siga e vai ficar igual ao que o professor quer):
- Elemento original (eixos
):
- Desenhe um quadrado simples representando o elemento.
- No lado direito (face normal ao eixo
) desenhe duas forças uniformes apontando para fora (tensão normal positiva, tração) com etiqueta . - No lado superior (face normal ao eixo
) desenhe duas forças uniformes apontando para fora com etiqueta . - Desenhe, por exemplo na face direita, uma seta horizontal para cima perto do centro da face para representar
. Na face superior, desenhe a seta correspondente (para manter equilíbrio das forças internas, a face superior terá com a direção apropriada — lembre que pelo equilíbrio). - Coloque no canto do desenho as três quantidades numéricas para clareza.
- Elemento alinhado com os eixos principais:
- Desenhe um segundo quadrado rotacionado de modo que seus eixos coincidam com as direções
medidas a partir do eixo . - Nas faces desse elemento desenhe apenas tensões normais (sem cisalhamento), com a face que está na direção de
marcada (tracionando se positivo) e a face ortogonal marcada . - Mostre zero cisalhamento nas faces (pequeno “0” ou um traço) para indicar que nessas direções a cisalha é nula.
- Elemento de cisalhamento máximo:
- Desenhe um terceiro quadrado rotacionado de modo que suas faces façam
com o eixo (ou simplesmente girado em relação ao desenho dos eixos principais). - Nas faces desse elemento desenhe setas de cisalhamento de magnitude
(com sinal nas faces opostas). - Nas mesmas faces, coloque como tensão normal o valor médio
(ou seja, labels nas faces: , ). - Isso mostra claramente que nas faces de cisalha máxima o normal não é extremo, fica no valor médio.
Dica prática de desenho: marque nos desenhos os ângulos numéricos (
e
) para relacionar os três estados (original, principais, cisalha máxima). Use setas claras e etiquetas com unidades.
Resposta
Planos principais:
Máxima tensão de cisalhamento no plano
Tensão de cisalhamento máxima: