Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
\sigma_{x}=24 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=14 \mathrm{MPa}, \tau_{x y}=12 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado dá um estado plano de tensões com os valores:
  • \sigma_{x}=24\\ \mathrm{MPa}
  • \sigma_{y}=14\\ \mathrm{MPa}
  • \tau_{xy}=12\\ \mathrm{MPa}
O que se pede:
  1. As tensões normais principais \sigma_1 e \sigma_2.
  2. Os planos principais (as direções angulares onde essas tensões atuam).
  3. A máxima tensão de cisalhamento no plano ab (interpreto aqui como o valor de cisalhamento existente no plano original do elemento, ou seja \tau_{xy} fornecido).
  4. A tensão de cisalhamento máxima (a maior tensão de cisalhamento possível ao rotacionar o plano).
  5. Fazer os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões (vou descrever detalhadamente como desenhar os três elementos relevantes: o elemento original, o elemento alinhado com os eixos principais e o elemento onde a cisalha é máxima).

Passo 2

Fórmulas úteis (explicadas com calma):
  • A tensão média (centro de Mohr) é a média das tensões normais:
\bar{\sigma}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
Aqui \bar{\sigma} é o valor médio em torno do qual ficam as tensões principais; \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nos eixos x e y; \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano original.
  • O raio do círculo de Mohr (que mede a “amplitude” das tensões em rotação) é
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Esse R é a magnitude máxima de variação a partir de \bar{\sigma}.
  • As tensões principais (valores máximos e mínimos de tensão normal, onde o cisalhamento local é zero) são
\sigma_{1,2}=\bar{\sigma}\pm R,
com \sigma_1 sendo a maior (o sinal +) e \sigma_2 a menor (o sinal -).
Agora calculamos passo a passo com os números dados.

Passo 3

Calculemos a média e o raio:
\bar{\sigma}=\frac{24+14}{2}= \frac{38}{2}=19\\ \mathrm{MPa}.
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{24-14}{2}=\frac{10}{2}=5\\ \mathrm{MPa}.
R=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\\ \mathrm{MPa}.
Assim as tensões principais são
\sigma_1=\bar{\sigma}+R=19+13=32\\ \mathrm{MPa},
\sigma_2=\bar{\sigma}-R=19-13=6\\ \mathrm{MPa}.
Vou explicar o que esses números significam: ao girar o elemento plano no plano xy, há duas direções ortogonais (planos) onde a tensão normal alcança valores extremos e a tensão de cisalhamento local é zero. Esses extremos são \sigma_1 e \sigma_2.

Passo 4

Determinar os ângulos dos planos principais (explicando a fórmula e cada termo):
  • A fórmula para a direção principal (ângulo \theta_p medido a partir do eixo x) é
\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Aqui 2\theta_p aparece porque as propriedades de tensão repetem-se a cada 90^\circ no elemento físico (ou 180^\circ no círculo de Mohr); \theta_p é o ângulo entre o eixo x e a direção onde atua uma tensão principal.
Substituindo os valores:
\tan 2\theta_p=\frac{2\cdot 12}{24-14}=\frac{24}{10}=2{,}4.
Então
2\theta_p=\arctan(2{,}4)\approx 67{,}380135^\circ,
portanto
\theta_p=\frac{67{,}380135^\circ}{2}\approx 33{,}6900675^\circ\approx 33{,}69^\circ.
As direções de planos principais são \theta_p e \theta_p+90^\circ. Ou seja:
\theta_p\approx 33{,}69^\circ,\qquad \theta_p+90^\circ\approx 123{,}69^\circ.
Comentário sobre qual ângulo corresponde a \sigma_1: usando a convenção padrão, o ângulo calculado por \theta_p=\tfrac{1}{2}\arctan\!\big(\dfrac{2\tau}{\sigma_x-\sigma_y}\big) aponta a direção de um dos planos principais; verificando o sinal (ou substituindo \theta_p na expressão para \sigma_n) confirma-se que a direção \theta_p\approx 33{,}69^\circ corresponde à tensão \sigma_1=32\\ \mathrm{MPa} (a outra, \theta_p+90^\circ, corresponde a \sigma_2).

Passo 5

Máxima tensão de cisalhamento no plano ab e tensão de cisalhamento máxima geral:
  • Se por "no plano ab" o enunciado refere-se ao plano original do elemento (o plano onde os dados \tau_{xy} foram dados), então a tensão de cisalhamento nesse plano vale exatamente o valor fornecido:
\tau_{ab}=\tau_{xy}=12\\ \mathrm{MPa}.
Isto é simplesmente a tensão de cisalhamento que age na face original do elemento.
  • A tensão de cisalhamento máxima possível (ao escolher o plano ótimo) para um estado bidimensional é igual ao raio R calculado no círculo de Mohr, ou equivalentemente
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}.
Usando nossos valores,
\tau_{\max}=R=13\\ \mathrm{MPa}.
As direções dos planos onde a cisalha máxima atua são a 45^\circ em relação às direções principais. Portanto o ângulo das faces de máxima cisalha em relação ao eixo x é
\theta_s=\theta_p+45^\circ\approx 33{,}69^\circ+45^\circ=78{,}69^\circ,
e a outra é \theta_s+90^\circ\approx 168{,}69^\circ.
Explicação rápida: nos planos de cisalhamento máximo a normal tem o valor médio \bar{\sigma}=19\\ \mathrm{MPa} e a cisalha é \pm \tau_{\max}= \pm 13\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Como desenhar os elementos (instruções passo a passo para fazer os três desenhos pedidas — siga e vai ficar igual ao que o professor quer):
  1. Elemento original (eixos x,y):
  • Desenhe um quadrado simples representando o elemento.
  • No lado direito (face normal ao eixo x) desenhe duas forças uniformes apontando para fora (tensão normal positiva, tração) com etiqueta \sigma_x=24\\ \mathrm{MPa}.
  • No lado superior (face normal ao eixo y) desenhe duas forças uniformes apontando para fora com etiqueta \sigma_y=14\\ \mathrm{MPa}.
  • Desenhe, por exemplo na face direita, uma seta horizontal para cima perto do centro da face para representar \tau_{xy}=12\\ \mathrm{MPa}. Na face superior, desenhe a seta correspondente (para manter equilíbrio das forças internas, a face superior terá \tau_{yx}=12\\ \mathrm{MPa} com a direção apropriada — lembre que \tau_{xy}=\tau_{yx} pelo equilíbrio).
  • Coloque no canto do desenho as três quantidades numéricas para clareza.
  1. Elemento alinhado com os eixos principais:
  • Desenhe um segundo quadrado rotacionado de modo que seus eixos coincidam com as direções \theta_p\approx 33{,}69^\circ medidas a partir do eixo x.
  • Nas faces desse elemento desenhe apenas tensões normais (sem cisalhamento), com a face que está na direção de \sigma_1 marcada \sigma_1=32\\ \mathrm{MPa} (tracionando se positivo) e a face ortogonal marcada \sigma_2=6\\ \mathrm{MPa}.
  • Mostre zero cisalhamento nas faces (pequeno “0” ou um traço) para indicar que nessas direções a cisalha é nula.
  1. Elemento de cisalhamento máximo:
  • Desenhe um terceiro quadrado rotacionado de modo que suas faces façam \theta_s\approx 78{,}69^\circ com o eixo x (ou simplesmente girado 45^\circ em relação ao desenho dos eixos principais).
  • Nas faces desse elemento desenhe setas de cisalhamento de magnitude \tau_{\max}=13\\ \mathrm{MPa} (com sinal \pm nas faces opostas).
  • Nas mesmas faces, coloque como tensão normal o valor médio \bar{\sigma}=19\\ \mathrm{MPa} (ou seja, labels nas faces: \sigma_n=19\\ \mathrm{MPa}, \tau=13\\ \mathrm{MPa}).
  • Isso mostra claramente que nas faces de cisalha máxima o normal não é extremo, fica no valor médio.
Dica prática de desenho: marque nos desenhos os ângulos numéricos ( 33{,}69^\circ e 78{,}69^\circ) para relacionar os três estados (original, principais, cisalha máxima). Use setas claras e etiquetas com unidades.

Resposta

\sigma_1=32\\ \mathrm{MPa}
\sigma_2=6\\ \mathrm{MPa}
Planos principais: \theta_p\approx 33{,}69^\circ e \theta_p+90^\circ\approx 123{,}69^\circ
Máxima tensão de cisalhamento no plano ab: \tau_{ab}=\tau_{xy}=12\\ \mathrm{MPa}
Tensão de cisalhamento máxima: \tau_{\max}=13\\ \mathrm{MPa} (atos em planos com \theta_s\approx 78{,}69^\circ e \theta_s+90^\circ\approx 168{,}69^\circ)

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