Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
\sigma_{x}=100 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-200 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado dá as tensões normais numa placa (elemento bidimensional) nas direções x e y:
  • \sigma_{x}=100\\ \text{MPa} (tensão de tração, positiva);
  • \sigma_{y}=-200\\ \text{MPa} (tensão de compressão, negativa).
O que pede:
  • as tensões normais principais ( \sigma_1,\sigma_2);
  • os planos principais (orientações angulares onde ocorrem \sigma_1,\sigma_2);
  • a máxima tensão de cisalhamento no plano ab (interpreto o “plano ab” como o plano do elemento original, isto é, as faces normais às direções x e y);
  • a tensão de cisalhamento máxima (valor máximo de \tau para esse estado de tensões) e onde ela ocorre;
  • desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões (instruções de como desenhar).
Observação importante (informação que o enunciado não deu): não foi informada a componente de cisalhamento \tau_{xy}. Quando o problema dá apenas \sigma_x e \sigma_y e nada sobre cisalhamento, a interpretação usual é assumir \tau_{xy}=0. Vou seguir essa suposição. Se \tau_{xy} fosse diferente de zero, as respostas mudariam.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (calma, explico tudo):
  • Estado plano de tensões com componentes \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}. A convenção que uso: tensões normais positivas em tração; cisalhamento \tau_{xy} é a tensão na face normal a x que atua na direção y.
  • As tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} são os valores extremos das tensões normais obtidas ao girar o elemento; são raízes da equação de transformação e se obtêm por:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Nessa fórmula:
  • \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é a tensão média (média dos normais);
  • o termo dentro da raiz é responsável pela diferença entre as duas principais.
  • O ângulo \theta_p (medido a partir do eixo x) que dá a orientação dos planos principais satisfaz
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
  • A máxima tensão de cisalhamento (valor absoluto máximo de \tau em qualquer plano do elemento) é
\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  • Em particular, quando \tau_{xy}=0, as fórmulas simplificam muito: \sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\left|\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right|, o que normalmente dá \sigma_1=\max(\sigma_x,\sigma_y) e \sigma_2=\min(\sigma_x,\sigma_y). E \tan(2\theta_p)=0\Rightarrow 2\theta_p=0^\circ,180^\circ\Rightarrow \theta_p=0^\circ,90^\circ.
Vou aplicar estas fórmulas com \tau_{xy}=0.

Passo 3

Cálculo explícito das tensões principais.
Primeiro calcule a média e a diferença meia:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{100+(-200)}{2}=\frac{-100}{2}=-50\\ \text{MPa}.
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{100-(-200)}{2}=\frac{300}{2}=150\\ \text{MPa}.
Como \tau_{xy}=0, a raiz fica simplesmente \sqrt{(150)^2+0}=150\\ \text{MPa}. Logo
\sigma_1=-50+150=100\\ \text{MPa}, \qquad \sigma_2=-50-150=-200\\ \text{MPa}.
Interpretação curta: com \tau_{xy}=0 não há cisalhamento no sistema x,y, por isso as tensões principais coincidem com \sigma_x e \sigma_y neste caso; o maior valor é 100\\ \text{MPa} e o menor é -200\\ \text{MPa}.

Passo 4

Determinar os planos principais (orientações).
Usando a fórmula
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\frac{0}{300}=0.
Logo 2\theta_p=0^\circ ou 180^\circ, o que dá \theta_p=0^\circ ou 90^\circ. Isso significa que as direções principais coincidem com os eixos x e y:
  • a tensão principal \sigma_1=100\\ \text{MPa} atua na direção x ( \theta=0^\circ);
  • a tensão principal \sigma_2=-200\\ \text{MPa} atua na direção y ( \theta=90^\circ).
Explicando de modo prático: não é preciso girar o elemento; as faces normais a x e a y já são planos principais porque não há cisalhamento.

Passo 5

Tensão de cisalhamento no plano ab (plano original do elemento).
Se o plano ab for o plano do elemento original (faces normais a x e y), a componente de cisalhamento nessa face é exatamente \tau_{xy}. Como assumimos \tau_{xy}=0, então
\text{tensão de cisalhamento no plano }ab=\tau_{xy}=0\\ \text{MPa}.ã
Explicação: em palavras — nas faces do elemento orientadas segundo x e y não existe esforço de cisalhamento (as forças aplicadas são puramente normais nesses eixos).

Passo 6

Tensão de cisalhamento máxima (valor absoluto máximo) e onde ocorre.
Usamos a fórmula
\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}=\sqrt{(150)^2+0}=150\\ \text{MPa}.
Portanto o valor máximo da tensão de cisalhamento é \tau_{\max}=150\\ \text{MPa}.
Orientação onde ocorre: as máximas tensões de cisalhamento ocorrem em planos que estão a 45^\circ em relação às direções principais. Como as direções principais estão em \theta=0^\circ e \theta=90^\circ, as direções dos planos de máximo cisalhamento são
\theta_{\tau\max}=\theta_p+\;45^\circ,
isto é, \theta=45^\circ e \theta=135^\circ medidos a partir do eixo x.

Passo 7

Tensões (normal e cisalhamento) nas faces onde a cisalhamento é máximo — interpretação útil para a prova.
Uma propriedade importante: nas faces de máxima cisalhamento a tensão normal é igual à média \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}. Já calculámos essa média: -50\\ \text{MPa}. Logo, nas faces de máximo cisalhamento (ex.: \theta=45^\circ):
  • tensão normal nessas faces: \sigma_n=-50\\ \text{MPa} (compressão uniforme);
  • tensão de cisalhamento nessas faces: \tau= \pm 150\\ \text{MPa} (sinais opostos em faces opostas do elemento).
Em suma: no elemento girado 45^\circ, as forças de cisalhamento de 150\\ \text{MPa} aparecem, e o normal é compressivo de -50\\ \text{MPa}.

Passo 8

Instruções passo-a-passo para os desenhos (faça isso numa folha: usa setas e valores):
  1. Desenho do elemento original (eixo x horizontal, y vertical):
    • Desenhe um quadrado/retângulo representando o elemento.
    • No face direita (face normal a x, apontando para a direita), desenhe uma seta para fora (tracionando) e escreva \sigma_x=100\\ \text{MPa}.
    • Na face esquerda desenhe seta para fora também (simetria) e escreva \sigma_x=100\\ \text{MPa}.
    • No face superior (normal a y) desenhe setas para dentro (compressão) e escreva \sigma_y=-200\\ \text{MPa}.
    • No face inferior desenhe setas para dentro e escreva \sigma_y=-200\\ \text{MPa}.
    • Não desenhe setas de cisalhamento (ou desenhe \tau_{xy}=0 se quiser explicitar).
  2. Desenho do elemento principal:
    • Como as direções principais coincidem com x e y, o desenho é idêntico ao anterior, mas rotule as tensões como \sigma_1=100\\ \text{MPa} na direção horizontal e \sigma_2=-200\\ \text{MPa} na vertical.
    • Escreva que nesses planos \tau=0.
  3. Desenho do elemento de máxima cisalhamento (girar o elemento 45^\circ):
    • Desenhe um quadrado rotacionado 45^\circ em relação ao eixo original.
    • Nas quatro faces desenhe setas de cisalhamento: duas faces com sentido horário, as opostas com sentido anti-horário, indicadas por \tau=150\\ \text{MPa} (sinal convencional alterna entre faces opostas).
    • Em cada face coloque também o valor da tensão normal: \sigma_n=-50\\ \text{MPa} (setas curtas apontando para dentro para mostrar compressão).
    • Adicione um texto: “plano de máxima cisalhamento: \theta=45^\circ ou 135^\circ”.
Esses três desenhos cobrem visualmente o estado original, a representação principal e o elemento que mostra o máximo cisalhamento.

Passo 9

Resumo físico e incentivo rápido: aqui temos um caso em que não há cisalhamento no sistema original, então as tensões principais são simplesmente os valores dados; porém existe diferença grande entre 100 e -200, o que produz uma cisalhamento máximo elevado de 150\\ \text{MPa} em planos a 45^\circ. Está mandando bem: entender essa sequência (média → raiz → ângulos → interpretação) resolve muita questão de prova. Força aí — revise os desenhos que descrevi e repita os cálculos uma vez à mão para fixar.

Resposta

\sigma_1=100\\ \text{MPa}
\sigma_2=-200\\ \text{MPa}
Planos principais: \theta=0^\circ (direção x, onde atua \sigma_1) e \theta=90^\circ (direção y, onde atua \sigma_2).
Tensão de cisalhamento no plano ab (plano original): \tau_{ab}=\tau_{xy}=0\\ \text{MPa}
Tensão de cisalhamento máxima: \tau_{\max}=150\\ \text{MPa} (ocorre em planos com \theta=45^\circ e \theta=135^\circ; nesses planos \sigma_n=-50\\ \text{MPa}).

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