Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões. \sigma_{x}=100 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-200 \mathrm{MPa}
Passo 1
O enunciado dá as tensões normais numa placa (elemento bidimensional) nas direções x e y:
\sigma_{x}=100\\ \text{MPa} (tensão de tração, positiva);
\sigma_{y}=-200\\ \text{MPa} (tensão de compressão, negativa).
O que pede:
as tensões normais principais (\sigma_1,\sigma_2);
os planos principais (orientações angulares onde ocorrem \sigma_1,\sigma_2);
a máxima tensão de cisalhamento no plano ab (interpreto o “plano ab” como o plano do elemento original, isto é, as faces normais às direções x e y);
a tensão de cisalhamento máxima (valor máximo de \tau para esse estado de tensões) e onde ela ocorre;
desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões (instruções de como desenhar).
Observação importante (informação que o enunciado não deu): não foi informada a componente de cisalhamento \tau_{xy}. Quando o problema dá apenas \sigma_x e \sigma_y e nada sobre cisalhamento, a interpretação usual é assumir \tau_{xy}=0. Vou seguir essa suposição. Se \tau_{xy} fosse diferente de zero, as respostas mudariam.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (calma, explico tudo):
Estado plano de tensões com componentes \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}. A convenção que uso: tensões normais positivas em tração; cisalhamento \tau_{xy} é a tensão na face normal a x que atua na direção y.
As tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} são os valores extremos das tensões normais obtidas ao girar o elemento; são raízes da equação de transformação e se obtêm por:
Em particular, quando \tau_{xy}=0, as fórmulas simplificam muito: \sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\left|\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right|, o que normalmente dá \sigma_1=\max(\sigma_x,\sigma_y) e \sigma_2=\min(\sigma_x,\sigma_y). E \tan(2\theta_p)=0\Rightarrow 2\theta_p=0^\circ,180^\circ\Rightarrow \theta_p=0^\circ,90^\circ.
Interpretação curta: com \tau_{xy}=0 não há cisalhamento no sistema x,y, por isso as tensões principais coincidem com \sigma_x e \sigma_y neste caso; o maior valor é 100\\ \text{MPa} e o menor é -200\\ \text{MPa}.
Logo 2\theta_p=0^\circ ou 180^\circ, o que dá \theta_p=0^\circ ou 90^\circ. Isso significa que as direções principais coincidem com os eixos x e y:
a tensão principal \sigma_1=100\\ \text{MPa} atua na direção x (\theta=0^\circ);
a tensão principal \sigma_2=-200\\ \text{MPa} atua na direção y (\theta=90^\circ).
Explicando de modo prático: não é preciso girar o elemento; as faces normais a x e a y já são planos principais porque não há cisalhamento.
Passo 5
Tensão de cisalhamento no plano ab (plano original do elemento).
Se o plano ab for o plano do elemento original (faces normais a x e y), a componente de cisalhamento nessa face é exatamente \tau_{xy}. Como assumimos \tau_{xy}=0, então
\text{tensão de cisalhamento no plano }ab=\tau_{xy}=0\\ \text{MPa}.ã
Explicação: em palavras — nas faces do elemento orientadas segundo x e y não existe esforço de cisalhamento (as forças aplicadas são puramente normais nesses eixos).
Passo 6
Tensão de cisalhamento máxima (valor absoluto máximo) e onde ocorre.
Portanto o valor máximo da tensão de cisalhamento é \tau_{\max}=150\\ \text{MPa}.
Orientação onde ocorre: as máximas tensões de cisalhamento ocorrem em planos que estão a 45^\circ em relação às direções principais. Como as direções principais estão em \theta=0^\circ e \theta=90^\circ, as direções dos planos de máximo cisalhamento são
\theta_{\tau\max}=\theta_p+\;45^\circ,
isto é, \theta=45^\circ e \theta=135^\circ medidos a partir do eixo x.
Passo 7
Tensões (normal e cisalhamento) nas faces onde a cisalhamento é máximo — interpretação útil para a prova.
Uma propriedade importante: nas faces de máxima cisalhamento a tensão normal é igual à média \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}. Já calculámos essa média: -50\\ \text{MPa}. Logo, nas faces de máximo cisalhamento (ex.: \theta=45^\circ):
tensão normal nessas faces: \sigma_n=-50\\ \text{MPa} (compressão uniforme);
tensão de cisalhamento nessas faces: \tau= \pm 150\\ \text{MPa} (sinais opostos em faces opostas do elemento).
Em suma: no elemento girado 45^\circ, as forças de cisalhamento de 150\\ \text{MPa} aparecem, e o normal é compressivo de -50\\ \text{MPa}.
Passo 8
Instruções passo-a-passo para os desenhos (faça isso numa folha: usa setas e valores):
Desenho do elemento original (eixo x horizontal, y vertical):
Desenhe um quadrado/retângulo representando o elemento.
No face direita (face normal a x, apontando para a direita), desenhe uma seta para fora (tracionando) e escreva \sigma_x=100\\ \text{MPa}.
Na face esquerda desenhe seta para fora também (simetria) e escreva \sigma_x=100\\ \text{MPa}.
No face superior (normal a y) desenhe setas para dentro (compressão) e escreva \sigma_y=-200\\ \text{MPa}.
No face inferior desenhe setas para dentro e escreva \sigma_y=-200\\ \text{MPa}.
Não desenhe setas de cisalhamento (ou desenhe \tau_{xy}=0 se quiser explicitar).
Desenho do elemento principal:
Como as direções principais coincidem com x e y, o desenho é idêntico ao anterior, mas rotule as tensões como \sigma_1=100\\ \text{MPa} na direção horizontal e \sigma_2=-200\\ \text{MPa} na vertical.
Escreva que nesses planos \tau=0.
Desenho do elemento de máxima cisalhamento (girar o elemento 45^\circ):
Desenhe um quadrado rotacionado 45^\circ em relação ao eixo original.
Nas quatro faces desenhe setas de cisalhamento: duas faces com sentido horário, as opostas com sentido anti-horário, indicadas por \tau=150\\ \text{MPa} (sinal convencional alterna entre faces opostas).
Em cada face coloque também o valor da tensão normal: \sigma_n=-50\\ \text{MPa} (setas curtas apontando para dentro para mostrar compressão).
Adicione um texto: “plano de máxima cisalhamento: \theta=45^\circ ou 135^\circ”.
Esses três desenhos cobrem visualmente o estado original, a representação principal e o elemento que mostra o máximo cisalhamento.
Passo 9
Resumo físico e incentivo rápido: aqui temos um caso em que não há cisalhamento no sistema original, então as tensões principais são simplesmente os valores dados; porém existe diferença grande entre 100 e -200, o que produz uma cisalhamento máximo elevado de 150\\ \text{MPa} em planos a 45^\circ. Está mandando bem: entender essa sequência (média → raiz → ângulos → interpretação) resolve muita questão de prova. Força aí — revise os desenhos que descrevi e repita os cálculos uma vez à mão para fixar.
Resposta
\sigma_1=100\\ \text{MPa} \sigma_2=-200\\ \text{MPa}
Planos principais: \theta=0^\circ (direção x, onde atua \sigma_1) e \theta=90^\circ (direção y, onde atua \sigma_2).
Tensão de cisalhamento no plano ab (plano original): \tau_{ab}=\tau_{xy}=0\\ \text{MPa}
Tensão de cisalhamento máxima: \tau_{\max}=150\\ \text{MPa} (ocorre em planos com \theta=45^\circ e \theta=135^\circ; nesses planos \sigma_n=-50\\ \text{MPa}).