Estados coerentes do oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico |psinrang<=, somente |psi0rang<= atinge o limite da incerteza sigmax sigmap=hbar / 2; em geral, sigmax sigmap>hbar / 2. Porém certas combinações lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador abaixamento:
a-|alpharang<==alpha|alpharang<=
(o autovalor alpha pode ser qualquer número complexo.)
Calcule lang<= xrang<= no estado |alpharang<=. Dica:
Lembre-se que & x=raizhbar2 m omega(a++a-) & p=i raizhbar m omega2(a+-a-) .

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a média de posição ⟨x⟩ num estado coerente a-|alpharang<= = alpha|alpharang<= , a+|alpharang<= = alpha^*|alpharang<= do oscilador harmônico. Isso é conteúdo de mecânica quântica: usar operadores de criação e aniquilação , e propriedades de esperança (valor médio) de operadores. A gente vai precisar da expressão de em termos de e , e das relações
para calcular ⟨x⟩.

Passo 2

Escreve a média de lang<= xrang<= = lang<= alpha|,x,|alpharang<= assim:
x = raizhbar2momega,(a++a-),
e usa a dica
lang<= xrang<= = raizhbar2momega ;llang<= alpham|,a++a-,m|alpharrang<=
Então

Passo 3

Como a esperança é linear, separamos:
lang<= xrang<= = raizhbar2momega, l(lang<= alpha|a+|alpharang<= + lang<= alpha|a-|alpharang<=r)
Agora usamos que lang<= alpha|a-|alpharang<= = alpha,lang<= alpha|alpharang<= = alpha, é autovetor de lang<= alpha|a+|alpharang<= = alpha^*,lang<= alpha|alpharang<= = alpha^*, e :
porque .

Passo 4

Substituindo:
lang<= xrang<= = raizhbar2momega;(alpha^* + alpha)
Como lang<= xrang<= = 2,Re(alpha),raizhbar2momega , podemos escrever também

Resposta

boxed lang<= xrang<= = raizhbar2momega;(alpha + alpha^*) ;=;2,Re(alpha),raizhbar2momega

Exercícios relacionados