Uma sala ficou acidentalmente contaminada com Sr-90, que é radioativo e tem meia vida de 29,1 anos. Este nuclídeo é extremamente perigoso, pois substitui o cálcio nos ossos. Suponha que a sala inicialmente continha 5 g dessa substância, distribuída uniformemente e que o nível seguro para utilizar a sala novamente é definido como menos de 10 desintegrações por minuto. Por quanto tempo (em anos) a sala ficará insegura?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: “Temos 5 g de Sr-90 (meia-vida 29,1 anos) numa sala. O critério de segurança é ter menos de 10 desintegrações por minuto. Quanto tempo até isso acontecer?”
Conteúdo envolvido:
  • Decaimento radioativo (lei exponencial)
  • Relação entre meia-vida e constante de decaimento
  • Cálculo do número de núcleos a partir da massa (mol → número de Avogadro)
  • Conversão de unidades (anos ↔ minutos)
    Então, vamos precisar transformar 5 g em número de núcleos, calcular a atividade inicial e depois achar o tempo até a atividade cair pra 10 dpm.

Passo 2

Converter a massa de Sr-90 em número de núcleos n = mM = 5 g90 g/mol = 0,0556 mol .
  1. Massa molar do Sr-90: N0 = n,NA = 0,0556 times 6,022times10^23 approx 3,35times10^22 núc<=os .
  2. Número de mols:
  1. Número de Avogadro: .
  2. Logo,
ú

Passo 3

Calcular a constante de decaimento T1/2 = 29,1 times 365 times 24 times 60 approx 1,5295times10^7 min .
Meia-vida em anos: lambda = ln 2T1/2 = 0,69311,5295times10^7 min approx 4,53times10^-8 min^-1 .
Para ter a atividade em desintegrações por minuto, convertemos pra minutos:
A constante é

Passo 4

Calcular a atividade inicial A0 = lambda,N0 = (4,53times10^-8 min^-1) times (3,35times10^22) approx 1,52times10^15 dpm (em desintegrações por minuto):

Passo 5

Montar a equação do decaimento até a atividade ser 10 dpm:
A lei é
A(t) = A0 ,e^-lambda t
Queremos 10 = 1,52times10^15,e^-lambda t ;Longrightarrow; e^-lambda t = 101,52times10^15 ;Longrightarrow; -lambda t = lnl(tfrac101,52times10^15r) . Então

Passo 6

Resolver para t = -1lambda, ln!l(101,52times10^15r) :
t = 14,53times10^-8 ln!l(1,52times10^1510r) ;approx; (2,21times10^7,min) times ln(1,52times10^14)1
Substituindo tapprox 2,21times10^7times32,66 approx 7,22times10^8 min :
tanos = 7,22times10^8 min 60times24times365 approx 1,37times10^3 anos
Calculando ,
Agora converte pra anos:

Resposta

A sala só fica segura (ou seja, com menos de 10 desintegrações por minuto) após aproximadamente 1 370 anos.

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