Estados coerentes do oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico |psinrang<=, somente |psi0rang<= atinge o limite da incerteza sigmax sigmap=hbar / 2; em geral, sigmax sigmap>hbar / 2. Porém certas combinações lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador abaixamento:
a-|alpharang<==alpha|alpharang<=
(o autovalor alpha pode ser qualquer número complexo.)
Agora coloque a dependência temporal,
|alpha(t)rang<==e^-i H t / hbar|alpharang<=
Demonstre que |alpha(t)rang<= continua sendo um autoestado de a-, porém, o autovalor evolui com o tempo:
a-|alpha(t)rang<==alpha e^-i omega t|alpha(t)rang<=
Portanto, um estado coerente permanece coerente e continua a minimizar o produto da incerteza.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, se você começa com um estado coerente |α⟩ (que é autovetor do operador de abaixamento a₋ com autovalor α), aí você evolui ele no tempo via
|α(t)⟩ = e^{-iHt/ħ} |α⟩,
então esse novo estado continua sendo autovetor de a₋, só que com o autovalor girando em fase: α → α e^{-iωt}.
Matéria envolvida: oscilador harmônico quântico, operador de evolução temporal em Schrödinger, cálculo de comutadores e fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff. Vamos precisar também saber que
[H,,a-] = -hbaromega,a-

Passo 2

O truque central é usar a identidade (Baker–Campbell–Hausdorff) em que
e^XY,e^-X = Y + [X,Y] + tfrac12![X,[X,Y]] + dots
Aqui escolhemos [H,,a-] = -hbaromega,a- , e e^,tfraciHthbar,a-,e^-tfraciHthbar ;=; a-,e^-iomega t, . Como já sabemos
fica fácil ver que todos os comutadores mais aninhados voltam a dar múltiplos de . Resumindo a série, dá

Passo 3

Agora é só agir com a-|alpha(t)rang<= = a-,l(e^-iHt/hbar|alpharang<=r) = e^-iHt/hbar,l(e^,iHt/hbara-,e^-,iHt/hbarr),|alpharang<= no estado evoluído:
Pela fórmula que achamos em

Passo 4

= e^-iHt/hbar,l(a-,e^-iomega tr),|alpharang<= = e^-iomega t,e^-iHt/hbar,a-,|alpharang<=
e como a-|alpha(t)rang<= = alpha,e^-iomega t,|alpha(t)rang<= , sobra

Resposta

Logo, o estado coerente continua coerente no tempo e é autovetor de com autovalor .

Exercícios relacionados