Estados coerentes do oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico
, somente
atinge o limite da incerteza
; em geral,
. Porém certas combinações lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador abaixamento:
(o autovalor
pode ser qualquer número complexo.)
Agora coloque a dependência temporal,
Demonstre que
continua sendo um autoestado de
, porém, o autovalor evolui com o tempo:
Portanto, um estado coerente permanece coerente e continua a minimizar o produto da incerteza.
Agora coloque a dependência temporal,
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, se você começa com um estado coerente |α⟩ (que é autovetor do operador de abaixamento a₋ com autovalor α), aí você evolui ele no tempo via
|α(t)⟩ = e^{-iHt/ħ} |α⟩,
então esse novo estado continua sendo autovetor de a₋, só que com o autovalor girando em fase: α → α e^{-iωt}.
Matéria envolvida: oscilador harmônico quântico, operador de evolução temporal em Schrödinger, cálculo de comutadores e fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff. Vamos precisar também saber que
|α(t)⟩ = e^{-iHt/ħ} |α⟩,
então esse novo estado continua sendo autovetor de a₋, só que com o autovalor girando em fase: α → α e^{-iωt}.
Matéria envolvida: oscilador harmônico quântico, operador de evolução temporal em Schrödinger, cálculo de comutadores e fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff. Vamos precisar também saber que
Passo 2
O truque central é usar a identidade (Baker–Campbell–Hausdorff) em que
Aqui escolhemos
e
. Como já sabemos
fica fácil ver que todos os comutadores mais aninhados voltam a dar múltiplos de
. Resumindo a série, dá
Passo 3
Agora é só agir com
no estado evoluído:
Pela fórmula que achamos em
Passo 4
e como
, sobra
Resposta
Logo, o estado coerente
continua coerente no tempo e é autovetor de
com autovalor
.