Estados coerentes do oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico |psinrang<=, somente |psi0rang<= atinge o limite da incerteza sigmax sigmap=hbar / 2; em geral, sigmax sigmap>hbar / 2. Porém certas combinações lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador abaixamento:
a-|alpharang<==alpha|alpharang<=
(o autovalor alpha pode ser qualquer número complexo.)
Assim como qualquer outra função de onda, um estado coerente pode ser expandido em termos dos autoestados das energias:
|alpharang<==sumn=0^infty cn|psinrang<=
Demonstre que os coeficientes de expansão são
cn=alpha^nraizn! c0

Passo 1

Beleza, o problema diz que um estado coerente do oscilador harmônico, chamado de |α⟩, é autofunção do operador de abaixamento |α⟩=sumn=0^inftycn|psin⟩ com autovalor α (complexo). Além disso, a gente sabe que todo estado se expande na base dos estados de energia cn=α^nraizn!,c0 :
a-|psin⟩=raizn,|psin-1⟩,
O que precisamos mostrar é que esses coeficientes satisfazem
Para isso vamos usar:
  1. a equação de autovalor ,
  2. a ação do operador de abaixamento na base , que é
  1. ortonormalidade .

Passo 2

Vamos aplicar o operador a-|α⟩ = a-sumn=0^inftycn|psin⟩ =sumn=0^inftycn,a-|psin⟩ na expansão do estado coerente:
a-|α⟩ =sumn=0^inftycn,raizn,|psin-1⟩
Agora substituindo a ação de na base:
Só presta atenção: para o termo some porque .

Passo 3

Como o índice tá “deslocado” ( a-|α⟩ =sumk=0^inftyck+1,raizk+1,|psik⟩ ), a gente troca a soma para escrever tudo em a-|α⟩ = α|α⟩ = αsumk=0^inftyck,|psik⟩ . Define , então . A soma vira
Por outro lado, da equação de autovalor,
Agora temos duas somas na mesma base .

Passo 4

Como os ck+1,raizk+1 ;=; α,ck, são ortonormais, podemos equiparar coeficiente por coeficiente em cada ck+1 = αraizk+1,ck . Isso dá
ou seja
Isso é uma relação de recorrência. A gente pode “subir” passo a passo:
  • Para : .
  • Para : .
  • Para : .
    E assim por diante.

Resposta

Portanto, vale para todo boxedcn = α^nraizn!,c0 :

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