Estados coerentes do oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico
, somente
atinge o limite da incerteza
; em geral,
. Porém certas combinações lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador abaixamento:
(o autovalor
pode ser qualquer número complexo.)
Assim como qualquer outra função de onda, um estado coerente pode ser expandido em termos dos autoestados das energias:
Demonstre que os coeficientes de expansão são
Assim como qualquer outra função de onda, um estado coerente pode ser expandido em termos dos autoestados das energias:
Passo 1
Beleza, o problema diz que um estado coerente do oscilador harmônico, chamado de |α⟩, é autofunção do operador de abaixamento
com autovalor α (complexo). Além disso, a gente sabe que todo estado se expande na base dos estados de energia
:
O que precisamos mostrar é que esses coeficientes satisfazem
Para isso vamos usar:
- a equação de autovalor
, - a ação do operador de abaixamento na base
, que é
- ortonormalidade
.
Passo 2
Vamos aplicar o operador
na expansão do estado coerente:
Agora substituindo a ação de
na base:
Só presta atenção: para
o termo some porque
.
Passo 3
Como o índice tá “deslocado” (
), a gente troca a soma para escrever tudo em
. Define
, então
. A soma vira
Por outro lado, da equação de autovalor,
Agora temos duas somas na mesma base
.
Passo 4
Como os
são ortonormais, podemos equiparar coeficiente por coeficiente em cada
. Isso dá
ou seja
Isso é uma relação de recorrência. A gente pode “subir” passo a passo:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
E assim por diante.
Resposta
Portanto, vale para todo
: