A voltagem entre as placas de um capacitor plano quando tem ar entre as placas é 85,0 V. Quando um dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas, a voltagem entre as placas cai para 25,0 V. (a) Determine a constante dielétrica do dielétrico. (b) Se o dielétrico cobre parcialmente o espaço entre as placas, como varia a voltagem entre as placas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um capacitor plano com duas situações: uma com ar entre as placas e outra com um material dielétrico. O que precisamos aqui envolve entender como a presença de um dielétrico afeta a voltagem de um capacitor. Para isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância e constante dielétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. A capacitância $ C $ de um capacitor plano é dada pela fórmula:
C
onde:
  • $ \varepsilon $ é a permissividade do meio entre as placas,
  • $ A $ é a área das placas,
  • $ d $ é a distância entre elas.
Quando temos ar entre as placas, a permissividade $ \varepsilon $ é igual à permissividade do vácuo multiplicada por 1, ou seja, $ \varepsilon_0 $.

Passo 3

Agora, quando inserimos um dielétrico, a permissividade do meio muda para $ \varepsilon = \kappa \varepsilon_0 $, onde $ \kappa $ é a constante dielétrica que queremos encontrar.
Sabemos que a voltagem $ V $ em um capacitor está relacionada à carga $ Q $ e à capacitância $ C $ pela relação:
varepsilon = kappa varepsilon0
Assumindo que a carga $ Q $ permanece constante quando adicionamos o dielétrico, podemos relacionar as voltagens antes e depois da inserção do dielétrico.

Passo 4

Vamos chamar:
  • $ V_1 = 85,0 , V $ (voltagem sem dielétrico),
  • $ V_2 = 25,0 , V $ (voltagem com dielétrico).
Usando a relação $ V = \frac{Q}{C} $, podemos escrever:
V1 = 85,0 , V
Substituindo as expressões para $ C $:
V2 = 25,0 , V

Passo 5

Agora, isolando $ \kappa $:
kappa
Então, a constante dielétrica do material é 3,4.

Resposta

(a) A constante dielétrica do dielétrico é $ \kappa = 3,4 $.
(b) Se o dielétrico cobre parcialmente o espaço entre as placas, a voltagem entre as placas diminuirá, mas não tanto quanto quando o dielétrico está totalmente presente. A quantidade de redução depende da fração do espaço preenchido pelo dielétrico. Quanto maior a área coberta pelo dielétrico, maior será a redução na voltagem.

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