Para os estados de tensão abaixo, arme as equações que permitirão determinar as tensões normais principais.
\left|\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 2 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos fornece o tensor de tensões
\sigma = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 2\\\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e pede as tensões normais principais, que são os autovalores \lambda de \sigma. Para encontrá-los, vamos usar a equação característica
\det\bigl(\sigma - \lambda I\bigr)=0.

Passo 2

Escrevendo o determinante de \sigma - \lambda I temos
\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 & 2\\\\ 1 & 2-\lambda & 2\\\\ 2 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} =0.

Passo 3

Podemos expressar a expansão desse determinante em termos dos invariantes
\,I_1=\operatorname{tr}\sigma\,,\;I_2=\tfrac12\bigl[(\operatorname{tr}\sigma)^2-\operatorname{tr}(\sigma^2)\bigr]\,,\;I_3=\det\sigma.
Calculamos:
I_1 = 3+2+1 = 6,
\operatorname{tr}(\sigma^2) = 3^2+2^2+1^2 +2\,(1^2+2^2+2^2) = 9+4+1 +2\,(1+4+4)=14+18=32,
I_2 = \tfrac12\bigl(I_1^2 - \operatorname{tr}(\sigma^2)\bigr) = \tfrac12\bigl(36 - 32\bigr) = 2,
I_3 = \det\sigma = -7.

Passo 4

A forma padrão da equação característica é
\lambda^3 - I_1\,\lambda^2 + I_2\,\lambda - I_3 = 0.
Substituindo I_1, I_2 e I_3 obtemos
\lambda^3 - 6\,\lambda^2 + 2\,\lambda + 7 = 0.

Resposta

A equação característica cujas raízes são as tensões normais principais é
\lambda^3 - 6\,\lambda^2 + 2\,\lambda + 7 = 0.

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