- Faça um resumo sobre Elipse, contemplando:
- Definição;
- Elementos principais;
- Equação reduzida.
Passo 1
O enunciado pede um resumo sobre a elipse, contemplando a definição do lugar geométrico, os seus elementos principais e a forma reduzida de sua equação. O conteúdo é geometria analítica de cônicas e vamos usar a definição via distância aos focos, além das relações entre os parâmetros
,
e
.
Passo 2
Definição
A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano tais que a soma das distâncias a dois pontos fixos
e
, chamados focos, é constante e igual a
. Ou seja, para todo
na curva vale
A elipse é o lugar geométrico dos pontos
com
fixo e
simétricos em relação ao centro.
Passo 3
Elementos principais
Centro : ponto médio de
.
Focos : pontos fixos de onde se mede distância. A metade da distância entre eles é
Centro
Focos
e satisfaz
onde
será a semi-distância do eixo menor.
Vértices : pontos em que a elipse intercepta o eixo maior, distantes
do centro.
Vértices secundários : interseções com o eixo menor, distantes
do centro.
Excentricidade
Vértices
Vértices secundários
Excentricidade
Diretrizes: retas que satisfazem a definição
; no caso horizontal são
Passo 4
Equação reduzida
Num sistema de eixos com o centro da elipse na origem e eixos alinhados ao eixo maior e menor, definimos . Então, se o eixo maior é horizontal, a equação é
Num sistema de eixos com o centro da elipse na origem e eixos alinhados ao eixo maior e menor, definimos
Se o eixo maior for vertical (isto é,
), troca-se
por
, obtendo
Resposta
Definição
A elipse é o lugar geométrico dos pontos tais que a soma das distâncias a dois focos
e
é constante e igual a
.
A elipse é o lugar geométrico dos pontos
Elementos principais
Centro ; focos
com
e
; vértices nos eixos maior e menor (semi-eixos
e
); excentricidade
; diretrizes
(no caso horizontal).
Centro
Equação reduzida
Eixo maior horizontal:
Eixo maior horizontal:
Eixo maior vertical: