1. Faça um resumo sobre Elipse, contemplando:
  • Definição;
  • Elementos principais;
  • Equação reduzida.

Passo 1

O enunciado pede um resumo sobre a elipse, contemplando a definição do lugar geométrico, os seus elementos principais e a forma reduzida de sua equação. O conteúdo é geometria analítica de cônicas e vamos usar a definição via distância aos focos, além das relações entre os parâmetros a, b e c.

Passo 2

Definição
A elipse é o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias a dois pontos fixos F_{1} e F_{2}, chamados focos, é constante e igual a 2a. Ou seja, para todo P na curva vale
PF_{1} + PF_{2} = 2a,
com a>0 fixo e F_{1},F_{2} simétricos em relação ao centro.

Passo 3

Elementos principais
Centro (O): ponto médio de F_{1}F_{2}.
Focos (F_{1},F_{2}): pontos fixos de onde se mede distância. A metade da distância entre eles é
c = OF_{1} = OF_{2},
e satisfaz
c^{2} = a^{2} - b^{2},
onde b será a semi-distância do eixo menor.
Vértices (A_{1},A_{2}): pontos em que a elipse intercepta o eixo maior, distantes a do centro.
Vértices secundários (B_{1},B_{2}): interseções com o eixo menor, distantes b do centro.
Excentricidade
\epsilon = \frac{c}{a},\quad 0<\epsilon<1.
Diretrizes: retas que satisfazem a definição PF=k\cdot PD; no caso horizontal são
x = \pm \frac{a}{\epsilon}.

Passo 4

Equação reduzida
Num sistema de eixos com o centro da elipse na origem e eixos alinhados ao eixo maior e menor, definimos a\ge b>0. Então, se o eixo maior é horizontal, a equação é
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.
Se o eixo maior for vertical (isto é, b\ge a), troca-se a por b, obtendo
\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1.

Resposta

Definição
A elipse é o lugar geométrico dos pontos P tais que a soma das distâncias a dois focos F_{1} e F_{2} é constante e igual a 2a.
Elementos principais
Centro O; focos F_{1},F_{2} com OF_{1}=OF_{2}=c e c^{2}=a^{2}-b^{2}; vértices nos eixos maior e menor (semi-eixos a e b); excentricidade \epsilon=c/a; diretrizes x=\pm a/\epsilon (no caso horizontal).
Equação reduzida
Eixo maior horizontal:
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.
Eixo maior vertical:
\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1.

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