Para os estados de tensão abaixo, arme as equações que permitirão determinar as tensões normais principais.
\left|\begin{array}{lll}0 & \tau & \tau \\\ \tau & 0 & \tau \\\ \tau & \tau & 0\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá um estado de tensões tridimensional cujos componentes na base carteseana x,y,z são
\sigma = \begin{pmatrix} 0 & \tau & \tau\\\ \tau & 0 & \tau\\\ \tau & \tau & 0 \end{pmatrix}
e pede as tensões principais, isto é, os autovalores \lambda de \sigma. Vamos usar o procedimento de autovalores: montar e resolver a equação característica \det(\sigma - \lambda I)=0.

Passo 2

Formamos a matriz \sigma - \lambda I subtraindo \lambda dos elementos da diagonal:
\sigma - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & \tau & \tau\\\ \tau & -\lambda & \tau\\\ \tau & \tau & -\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

A equação característica é
\det(\sigma - \lambda I)= \left|\, \begin{matrix} -\lambda & \tau & \tau\\\ \tau & -\lambda & \tau\\\ \tau & \tau & -\lambda \end{matrix} \right|=0.

Passo 4

Expandindo o determinante por cofactor, obtemos
-\lambda\bigl((-\lambda)^2-\tau^2\bigr) - \tau\bigl(\tau(-\lambda)-\tau^2\bigr) + \tau\bigl(\tau^2-(-\lambda)\tau\bigr)=0,
que simplifica para
-\lambda^3 +3\tau^2\lambda +2\tau^3 =0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^3 -3\tau^2\lambda -2\tau^3 =0.

Resposta

A equação característica cujas raízes são as tensões normais principais é
\lambda^3 - 3\tau^2 \lambda - 2\tau^3 = 0.

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