4 Um foguete na posição A decola do repouso e se move verticalmente até B quando seu combustível acaba aos
. Durante este tempo sua aceleração varia com
, dado
. Ao atingir o ponto B , o foguete inclina em um ângulo
com a vertical e inicia um movimento de queda livre. (a) Calcule velocidade de lançamento
. (b) Calcule a altura máxima de lançamento
Calcule a altura máxima
a trajetória. (d) Calcule o alcance
(a) (1.5 ponto) (A)
, (B)
, ©
, (D)
, (E)
, (F)
,
(b) (1.5 ponto) (A) 338 m, (B) 525 m, © 459 m , (D) 1030 m , (E) 391 m, (F) 584 m ,
© (1.5 ponto) (A) 940 m, (B) 1510 m, © 4090 m, (D) 6990 m, (E) 1350 m, (F) 628 m ,
(d) (1.5 ponto) (A) 3.27 km , (B)
, ©
, (D)
, (E)
, (F)
(a) (1.5 ponto) (A)
(b) (1.5 ponto) (A) 338 m, (B) 525 m, © 459 m , (D) 1030 m , (E) 391 m, (F) 584 m ,
© (1.5 ponto) (A) 940 m, (B) 1510 m, © 4090 m, (D) 6990 m, (E) 1350 m, (F) 628 m ,
(d) (1.5 ponto) (A) 3.27 km , (B)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um foguete que decola do repouso (ou seja, velocidade inicial zero) e acelera verticalmente até o ponto B, onde o combustível acaba após
. A aceleração do foguete varia com o tempo segundo a fórmula
. No ponto B, o foguete inclina-se em
com a vertical e começa a cair livremente.
Neste primeiro passo, vamos focar na parte (a) do exercício: Calcular a velocidade de lançamento
. Para isso, precisamos usar conceitos de cinemática, especialmente aqueles relacionados à aceleração variável.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do foguete no ponto B após os
. Sabemos que a aceleração varia com o tempo, então não podemos simplesmente multiplicar a aceleração constante pelo tempo. Em vez disso, usamos o conceito de integração da aceleração para encontrar a velocidade.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para encontrar a velocidade, integramos a aceleração em relação ao tempo:
Como o foguete parte do repouso, a velocidade inicial
.
Passo 3
Vamos substituir a expressão da aceleração na integral:
Integrando
em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Agora, substituímos o valor do tempo
na expressão da velocidade:
Calculando:
Resposta
A velocidade de lançamento
é aproximadamente
, correspondente à opção (F).