Uma estampa de camisetas é formada de 4 linhas espessas, 2 linhas médias e 3 linhas finas. Se cada estampa é composta de 9 linhas, quantas estampas diferentes podem ser formadas?
R: 1260
Passo 1
O enunciado pede: “Quantas estampas diferentes podem ser formadas?”
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Há
linhas espessas. - Há
linhas médias. - Há
linhas finas. - Cada estampa é composta por
linhas no total.
Observação implícita (usada para resolver): linhas da mesma espessura são indistinguíveis entre si (ou seja, trocar duas linhas espessas não gera uma estampa nova).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo). Quando queremos ordenar
objetos todos distintos, o número de ordenações é
. Aqui
(fatorial) significa multiplicar todos os inteiros positivos até aquele número: por exemplo,
.
Se alguns objetos são idênticos entre si, cada ordenação “todas distintas” é contada várias vezes ao considerar as permutações desses idênticos. Para corrigir isso dividimos pelo número de permutações internas de cada grupo de idênticos. Assim, para uma coleção com objetos, onde há
de um tipo,
de outro, …, a fórmula geral é a multinomial:
Se alguns objetos são idênticos entre si, cada ordenação “todas distintas” é contada várias vezes ao considerar as permutações desses idênticos. Para corrigir isso dividimos pelo número de permutações internas de cada grupo de idênticos. Assim, para uma coleção com
Isso conta todas as sequências distintas levando em conta objetos idênticos.
Passo 3
Aplicando ao problema: temos
linhas no total, com
(espessas),
(médias) e
(finas). Pelo raciocínio do passo anterior, o número de estampas distintas é
Passo 4
Vamos calcular os fatoriais usados. Definições e valores:
Passo 5
Agora fazemos a divisão passo a passo, de forma que eu consiga fazer sem calculadora: primeiro multiplico os denominadores ou faço divisões sucessivas. O denominador total é
. Então
Faço divisões em etapas fáceis:
( Note que dividi por
, depois por
e por fim por
; a ordem não altera o resultado.)
Passo 6
Verificação intuitiva com um exemplo pequeno para fixar: se eu tiver as letras em “AAB” (duas A idênticas e uma B), o total seria
e as sequências distintas são “AAB”, “ABA” e “BAA” — bate com a fórmula. No nosso problema a ideia é a mesma, só com números maiores.
Passo 7
Conclusão prática para a prova: sempre pense “tudo distinto” (
) dividido pelas permutações internas de cada grupo idêntico (
). Ao calcular sem calculadora, cancele fatores ou divida em etapas como fiz acima para não precisar multiplicar números muito grandes.