Uma estampa de camisetas é formada de 4 linhas espessas, 2 linhas médias e 3 linhas finas. Se cada estampa é composta de 9 linhas, quantas estampas diferentes podem ser formadas?
R: 1260

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas estampas diferentes podem ser formadas?”
Informações fornecidas:
  • 4 linhas espessas.
  • 2 linhas médias.
  • 3 linhas finas.
  • Cada estampa é composta por 9 linhas no total.
    Observação implícita (usada para resolver): linhas da mesma espessura são indistinguíveis entre si (ou seja, trocar duas linhas espessas não gera uma estampa nova).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo). Quando queremos ordenar n objetos todos distintos, o número de ordenações é n!. Aqui ! (fatorial) significa multiplicar todos os inteiros positivos até aquele número: por exemplo, 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
Se alguns objetos são idênticos entre si, cada ordenação “todas distintas” é contada várias vezes ao considerar as permutações desses idênticos. Para corrigir isso dividimos pelo número de permutações internas de cada grupo de idênticos. Assim, para uma coleção com n objetos, onde há n_1 de um tipo, n_2 de outro, …, a fórmula geral é a multinomial:
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\,\cdots}
Isso conta todas as sequências distintas levando em conta objetos idênticos.

Passo 3

Aplicando ao problema: temos n=9 linhas no total, com n_1=4 (espessas), n_2=2 (médias) e n_3=3 (finas). Pelo raciocínio do passo anterior, o número de estampas distintas é
\frac{9!}{4!\,2!\,3!}.

Passo 4

Vamos calcular os fatoriais usados. Definições e valores:
9! = 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 362880,
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24,\qquad 2! = 2\cdot1 = 2,\qquad 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.

Passo 5

Agora fazemos a divisão passo a passo, de forma que eu consiga fazer sem calculadora: primeiro multiplico os denominadores ou faço divisões sucessivas. O denominador total é 4!\cdot2!\cdot3! = 24\cdot2\cdot6 = 288. Então
\frac{9!}{4!\,2!\,3!} = \frac{362880}{288}.
Faço divisões em etapas fáceis:
\frac{362880}{2} = 181440,
\frac{181440}{6} = 30240,
\frac{30240}{24} = 1260.
( Note que dividi por 2!, depois por 3! e por fim por 4!; a ordem não altera o resultado.)

Passo 6

Verificação intuitiva com um exemplo pequeno para fixar: se eu tiver as letras em “AAB” (duas A idênticas e uma B), o total seria
\frac{3!}{2!} = \frac{6}{2} = 3,
e as sequências distintas são “AAB”, “ABA” e “BAA” — bate com a fórmula. No nosso problema a ideia é a mesma, só com números maiores.

Passo 7

Conclusão prática para a prova: sempre pense “tudo distinto” ( n!) dividido pelas permutações internas de cada grupo idêntico ( n_1!,n_2!,\dots). Ao calcular sem calculadora, cancele fatores ou divida em etapas como fiz acima para não precisar multiplicar números muito grandes.

Resposta

1260

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