Um aluno resolveu uma lista com 30 exercícios e cometeu 5 erros. O professor corrige 10 exercícios aleatoriamente, caso ele identifique mais de 1 erro, ele corrige a lista inteira. Qual a probabilidade de que isto ocorra? (Dica: explore o “complementar”)
R: 55,12%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • 30 exercícios no total.
  • Desses, 5 estão errados.
  • O professor corrige 10 exercícios escolhidos aleatoriamente (sem reposição).
  • Se, entre os 10 corrigidos, o professor identificar mais de 1 erro (ou seja, pelo menos 2 erros), ele corrige a lista inteira.
Pergunta: qual a probabilidade de que o professor identifique mais de 1 erro entre os 10 corrigidos (isto é, a probabilidade de encontrar pelo menos 2 erros)?

Passo 2

Estratégia (dica do enunciado): usar o complementar. É mais simples calcular a probabilidade de encontrar 0 ou 1 erro e subtrair de 1. Seja X o número de erros encontrados nas 10 correções; queremos \Pr(X\ge 2). Usamos
\Pr(X\ge 2)=1-\Pr(X\le 1)=1-\big(\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\big).
Agora a distribuição de X é a hipergeométrica: de 30 itens escolhemos 10, há 5 sucessos (erros) na população, e queremos probabilidades de tirar k sucessos. A fórmula da probabilidade hipergeométrica é
\Pr(X=k)=\frac{\binom{5}{k}\binom{25}{10-k}}{\binom{30}{10}},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k itens de n, dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicação curta do porquê: para ter exatamente k erros entre os 10, escolhemos k dentre os 5 erros e 10-k dentre os 25 exercícios corretos; o total de escolhas de 10 entre 30 é \binom{30}{10}.

Passo 3

Calcular \Pr(X=0). Pela fórmula,
\Pr(X=0)=\frac{\binom{5}{0}\binom{25}{10}}{\binom{30}{10}}=\frac{\binom{25}{10}}{\binom{30}{10}}.
Simplificamos essa razão observando que muitos fatores se cancelam. Usando a forma de produto das combinações:
\frac{\binom{25}{10}}{\binom{30}{10}} =\frac{25\cdot24\cdots16}{30\cdot29\cdots21}.
Cancelando os termos comuns 25,24,23,22,21 obtemos
\Pr(X=0)=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16}{30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26}.
Agora calculamos numeradores e denominadores:
20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16=1\,860\,480,
30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26=17\,100\,720.
Portanto
\Pr(X=0)=\frac{1\,860\,480}{17\,100\,720}=\frac{2\,584}{23\,751}\approx 0,108809\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular \Pr(X=1). Pela fórmula,
\Pr(X=1)=\frac{\binom{5}{1}\binom{25}{9}}{\binom{30}{10}}=5\cdot\frac{\binom{25}{9}}{\binom{30}{10}}.
Em vez de recalcular tudo, usamos uma relação entre combinações para economizar trabalho:
\frac{\binom{25}{9}}{\binom{25}{10}}=\frac{10}{25-10+1}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}.
(Verificação rápida: \binom{n}{k-1}/\binom{n}{k}=k/(n-k+1).)
Como \Pr(X=0)=\dfrac{\binom{25}{10}}{\binom{30}{10}}, segue que
\Pr(X=1)=5\cdot\frac{\binom{25}{9}}{\binom{30}{10}} =5\cdot\frac{\binom{25}{9}}{\binom{25}{10}}\cdot\frac{\binom{25}{10}}{\binom{30}{10}} =5\cdot\frac{5}{8}\cdot\Pr(X=0)=\frac{25}{8}\Pr(X=0).
Assim não precisamos recalcular combinações grandes; basta multiplicar \Pr(X=0) por 25/8.
Usando \Pr(X=0)\approx 0,108809,
\Pr(X=1)\approx\frac{25}{8}\cdot 0,108809\approx 3,125\cdot 0,108809\approx 0,339403\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Somamos \Pr(X=0) e \Pr(X=1) para o complementar:
\Pr(X\le 1)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)=\Pr(X=0)\left(1+\frac{25}{8}\right)=\Pr(X=0)\cdot\frac{33}{8}.
Numericamente,
\Pr(X\le 1)\approx 0,108809\cdot\frac{33}{8}\approx 0,448871\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Finalmente a probabilidade pedida é
\Pr(X\ge 2)=1-\Pr(X\le 1)\approx 1-0,448871\approx 0,551129.
Convertendo para percentual (com vírgula decimal, conforme enunciado):
\Pr(X\ge 2)\approx 55,12\%.

Resposta

55,12\%

Exercícios relacionados