Um aluno resolveu uma lista com 30 exercícios e cometeu 5 erros. O professor corrige 10 exercícios aleatoriamente, caso ele identifique mais de 1 erro, ele corrige a lista inteira. Qual a probabilidade de que isto ocorra? (Dica: explore o “complementar”)
R: 55,12%
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há
exercícios no total. - Desses,
estão errados. - O professor corrige
exercícios escolhidos aleatoriamente (sem reposição). - Se, entre os
corrigidos, o professor identificar mais de erro (ou seja, pelo menos erros), ele corrige a lista inteira.
Pergunta: qual a probabilidade de que o professor identifique mais de
erro entre os
corrigidos (isto é, a probabilidade de encontrar pelo menos
erros)?
Passo 2
Estratégia (dica do enunciado): usar o complementar. É mais simples calcular a probabilidade de encontrar
ou
erro e subtrair de
. Seja
o número de erros encontrados nas
correções; queremos
. Usamos
Agora a distribuição de
é a hipergeométrica: de
itens escolhemos
, há
sucessos (erros) na população, e queremos probabilidades de tirar
sucessos. A fórmula da probabilidade hipergeométrica é
onde
é o número de maneiras de escolher
itens de
, dado por
Explicação curta do porquê: para ter exatamente
erros entre os
, escolhemos
dentre os
erros e
dentre os
exercícios corretos; o total de escolhas de
entre
é
.
Passo 3
Calcular
. Pela fórmula,
Simplificamos essa razão observando que muitos fatores se cancelam. Usando a forma de produto das combinações:
Cancelando os termos comuns
obtemos
Agora calculamos numeradores e denominadores:
Portanto
Passo 4
Calcular
. Pela fórmula,
Em vez de recalcular tudo, usamos uma relação entre combinações para economizar trabalho:
(Verificação rápida:
.)
Como , segue que
Como
Assim não precisamos recalcular combinações grandes; basta multiplicar
por
.
Usando
,
Passo 5
Somamos
e
para o complementar:
Numericamente,
Passo 6
Finalmente a probabilidade pedida é
Convertendo para percentual (com vírgula decimal, conforme enunciado):