Estando os números
dispostos em ordem aleatória, determine o número de maneiras em que os dígitos 1, 2 e 3, apareçam como vizinho nessa ordem.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Temos os números 1,2,…,n embaralhados. A gente quer contar em quantas dessas permutações o 1, o 2 e o 3 aparecem lado a lado e na ordem 1–2–3.”
Isso cai em Combinatória de permutações com elementos “colados” (às vezes chamado de técnica de bloco). Vamos usar essa ideia de tratar o trio 1–2–3 como um único “bloco”.
Isso cai em Combinatória de permutações com elementos “colados” (às vezes chamado de técnica de bloco). Vamos usar essa ideia de tratar o trio 1–2–3 como um único “bloco”.
Passo 2
A ideia é: se você quer que três elementos sejam consecutivos e numa ordem fixa, trata esses três como se fossem só um.
- Normalmente, sem restrição, há
permutações de 1 até . - Se agrupamos o bloco [1–2–3] mais os outros
números soltos, no total temos “coisas” para ordenar. - O número de maneiras de ordenar essas
coisas é . - Aqui não multiplicamos por nada a mais, porque dentro do bloco a ordem já está fixa em 1 depois 2 depois 3.
Passo 3
Só para bater o olho num exemplo pequeno e ver que faz sentido:
Se , segundo a fórmula teríamos
permutações com “1–2–3” juntos. A gente pode até listar mentalmente e vê que bate.
Se