Estando os números 1,2, ldots, n dispostos em ordem aleatória, determine o número de maneiras em que os dígitos 1, 2 e 3, apareçam como vizinho nessa ordem.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Temos os números 1,2,…,n embaralhados. A gente quer contar em quantas dessas permutações o 1, o 2 e o 3 aparecem lado a lado e na ordem 1–2–3.”
Isso cai em Combinatória de permutações com elementos “colados” (às vezes chamado de técnica de bloco). Vamos usar essa ideia de tratar o trio 1–2–3 como um único “bloco”.

Passo 2

A ideia é: se você quer que três elementos sejam consecutivos e numa ordem fixa, trata esses três como se fossem só um.
  1. Normalmente, sem restrição, há permutações de 1 até .
  2. Se agrupamos o bloco [1–2–3] mais os outros números soltos, no total temos “coisas” para ordenar.
  3. O número de maneiras de ordenar essas coisas é .
  4. Aqui não multiplicamos por nada a mais, porque dentro do bloco a ordem já está fixa em 1 depois 2 depois 3.

Passo 3

Só para bater o olho num exemplo pequeno e ver que faz sentido:
Se , segundo a fórmula teríamos permutações com “1–2–3” juntos. A gente pode até listar mentalmente e vê que bate.

Resposta

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