Dadas 30 pessoas, ache o número de maneiras em que entre os 12 meses do calendário, existam seis contendo dois aniversários e seis contendo três.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Temos 30 pessoas e queremos distribuir os aniversários delas nos 12 meses de forma que exatamente 6 meses tenham 2 aniversários cada e os outros 6 meses tenham 3 aniversários cada.”
Conteúdo: é um problema de contagem em combinatória, usando coeficientes binomiais e a ideia de permutações/multinomiais.
O que vamos precisar:
Conteúdo: é um problema de contagem em combinatória, usando coeficientes binomiais e a ideia de permutações/multinomiais.
O que vamos precisar:
- Escolher quais 6 meses vão ter 2 aniversários (o resto automaticamente terá 3).
- Depois, distribuir as 30 pessoas nesses meses, respeitando as quantidades (6 meses com 2 vagas, 6 meses com 3 vagas).
Passo 2
Primeiro, vamos decidir quais meses têm 2 aniversários. Como os meses são distintos, isso é uma escolha de 6 meses dentre 12.
Teoria usada: coeficiente binomial
Teoria usada: coeficiente binomial
é o número de formas de escolher 6 itens (meses) de um conjunto de 12, sem importar ordem.
Passo 3
Agora que fixamos quais 6 meses têm 2 aniversários e quais 6 têm 3, precisamos encaixar as 30 pessoas nessas “caixinhas” de tamanhos dados.
Isso é um caso de distribuição de 30 objetos distintos em 12 caixas distintas, com 6 caixas de capacidade 2 e 6 de capacidade 3.
Teoria usada: coeficiente multinomial (ou permutação com repetição de blocos)
O número de maneiras de distribuir é
Isso é um caso de distribuição de 30 objetos distintos em 12 caixas distintas, com 6 caixas de capacidade 2 e 6 de capacidade 3.
Teoria usada: coeficiente multinomial (ou permutação com repetição de blocos)
O número de maneiras de distribuir é
porque imaginamos todas as permutações das 30 pessoas (que são 30!), mas dividimos pelas permutações internas em cada mês (cada mês de 2 pessoas tem 2! maneiras de trocar sem mudar a distribuição, e cada mês de 3 pessoas tem 3!).
Passo 4
Para obter o total, multiplicamos as escolhas de meses pelo número de distribuições de pessoas: