Estando os números 1,2, ldots, n dispostos em ordem aleatória, determine a probabilidade de que os dígitos
a) 1 e 2 ;
b) 1 , 2 e 3 , apareçam como vizinho nessa ordem.

Passo 1

Então tá, o exercício diz que a gente pega os números 1,2,…,n e embaralha aleatoriamente. A pergunta é:
a) Qual a chance de 1 e 2 aparecerem lado a lado exatamente nessa ordem (1 seguido de 2)?
b) Qual a chance de 1, 2 e 3 aparecerem vizinhos exatamente na ordem 1→2→3?
Isso é sobre probabilidade clássica e contagem de permutações. Vamos usar:
  • Total de jeitos de ordenar n elementos:
  • Probabilidade = (# de casos favoráveis) ÷ (n!).

Passo 2

Lembra que probabilidade é sempre
P = casos favoráveiscasos possíveis áí
Aqui os casos possíveis são todas as permutações de 1 até n, ou seja .
A ideia para achar “casos favoráveis” é usar o truque de “bloco”: a gente agrupa os elementos que precisam ficar juntos como se fosse um único item.

Passo 3

Para 1 e 2 ficarem juntos na ordem 1→2, trata o par (1,2) como um bloco único.
  • Então em vez de n elementos, temos esse bloco + (n–2) outros, total de P(1→2 juntos) = (n-1)!n! = 1n “coisas” para permutar.
  • Número de formas de organizar essas coisas: .
  • Dentro do bloco a ordem já está fixa (1 antes de 2), então não multiplica nada extra.
Logo, casos favoráveis = .

Passo 4

Agora queremos 1,2,3 juntos na ordem exata 1→2→3. Faz igual: bloco de três.
  • O bloco (1,2,3) + os outros (n–3) elementos dá P(1→2→3 juntos) = (n-2)!n! = 1n(n-1) coisas no total.
  • Essas coisas podem ser permutadas de jeitos.
  • Ordem interna do bloco já está fixa (1→2→3), sem multiplicador extra.
Logo, casos favoráveis = .

Resposta

a)
b)

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