Estando os números
dispostos em ordem aleatória, determine a probabilidade de que os dígitos
a) 1 e 2 ;
b) 1 , 2 e 3 , apareçam como vizinho nessa ordem.
a) 1 e 2 ;
b) 1 , 2 e 3 , apareçam como vizinho nessa ordem.
Passo 1
Então tá, o exercício diz que a gente pega os números 1,2,…,n e embaralha aleatoriamente. A pergunta é:
a) Qual a chance de 1 e 2 aparecerem lado a lado exatamente nessa ordem (1 seguido de 2)?
b) Qual a chance de 1, 2 e 3 aparecerem vizinhos exatamente na ordem 1→2→3?
Isso é sobre probabilidade clássica e contagem de permutações. Vamos usar:
a) Qual a chance de 1 e 2 aparecerem lado a lado exatamente nessa ordem (1 seguido de 2)?
b) Qual a chance de 1, 2 e 3 aparecerem vizinhos exatamente na ordem 1→2→3?
Isso é sobre probabilidade clássica e contagem de permutações. Vamos usar:
- Total de jeitos de ordenar n elementos:
- Probabilidade = (# de casos favoráveis) ÷ (n!).
Passo 2
Lembra que probabilidade é sempre
Aqui os casos possíveis são todas as permutações de 1 até n, ou seja
.
A ideia para achar “casos favoráveis” é usar o truque de “bloco”: a gente agrupa os elementos que precisam ficar juntos como se fosse um único item.
A ideia para achar “casos favoráveis” é usar o truque de “bloco”: a gente agrupa os elementos que precisam ficar juntos como se fosse um único item.
Passo 3
Para 1 e 2 ficarem juntos na ordem 1→2, trata o par (1,2) como um bloco único.
- Então em vez de n elementos, temos esse bloco + (n–2) outros, total de
“coisas” para permutar. - Número de formas de organizar essas
coisas: . - Dentro do bloco a ordem já está fixa (1 antes de 2), então não multiplica nada extra.
Logo, casos favoráveis =
.
Passo 4
Agora queremos 1,2,3 juntos na ordem exata 1→2→3. Faz igual: bloco de três.
- O bloco (1,2,3) + os outros (n–3) elementos dá
coisas no total. - Essas
coisas podem ser permutadas de jeitos. - Ordem interna do bloco já está fixa (1→2→3), sem multiplicador extra.
Logo, casos favoráveis =
.
Resposta
a)
b)
b)