estão 5. Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As paredes leste e oeste perdem calor a uma taxa de 10 unidades
por dia; as paredes norte e sul, a uma taxa de 8 unidades
por dia; o piso, a uma taxa de 1 unidade
por dia; e o teto a a uma taxa de 5 unidades
por dia. Sabendo que volume do prédio deve ser exatamente
, encontre as dimensões do prédio que minimizam a perda de calor.
Passo 1
O problema pede: encontrar as dimensões (comprimento, largura e altura) de um prédio retangular que minimizam a perda total de calor, dada a taxa de perda por unidade de área de cada face, sabendo que o volume do prédio deve ser exatamente
.
Informações fornecidas:
- As paredes leste e oeste (duas faces opostas) perdem calor à taxa de
unidades por por dia. - As paredes norte e sul (duas faces opostas) perdem calor à taxa de
unidades por por dia. - O piso perde calor à taxa de
unidade por por dia. - O teto perde calor à taxa de
unidades por por dia. - Volume fixo:
Coisas que vamos precisar (lista de dados úteis):
- Cada face do par de paredes contribui com sua área multiplicada pela taxa indicada.
- Há duas faces para cada par de paredes (leste/oeste e norte/sul); piso e teto são uma face cada.
- Precisamos encontrar as dimensões que minimizam a soma dessas contribuições, sujeitas à restrição de volume.
Passo 2
Escolha de variáveis e expressão da perda total.
Defino:
= comprimento na direção norte–sul (m),
= largura na direção leste–oeste (m),
= altura (m).
Áreas das faces:
- Paredes leste e oeste: cada uma tem área
. Como há duas e cada uma perde à taxa , o total dessas duas é
- Paredes norte e sul: cada uma tem área
. Com taxa e duas faces:
- Piso: área
, taxa : contribuição - Teto: área
, taxa : contribuição
Somando piso e teto:
Assim, a perda total diária
(função a minimizar) é
Restrição de volume:
Passo 3
Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
Método escolhido: multiplicadores de Lagrange. Por quê? Temos uma função de três variáveis
para minimizar sujeita a uma única restrição diferenciável
. O método de Lagrange é apropriado porque nos dá condições necessárias para extremos condicionados: devemos ter o gradiente de
paralelo ao gradiente da restrição
. Em termos práticos, introduzimos um multiplicador
e resolvemos um sistema de equações que iguala derivadas parciais. Vou mostrar passo a passo o que isso significa e como calcular.
Breve lembrete do método (didático):
- Se queremos minimizar
sujeito a , definimos a função Lagrange
- Então impomos as condições
Essas equações nos dão candidatos a extremos condicionados.
Passo 4
Montando a Lagrangiana para este problema.
Aqui
. Então escolho
Agora vou calcular cada derivada parcial e igualar a zero.
Passo 5
Cálculo das derivadas parciais e obtenção das equações.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
E a restrição:
Essas quatro equações formam o sistema a resolver.
Passo 6
Manipulação das equações para eliminar
e relacionar
.
Das três primeiras equações, podemos isolar
em cada uma:
- Da equação em
:
- Da equação em
:
- Da equação em
:
Agora igualamos pares dessas expressões para eliminar
.
Igualando a primeira e a segunda:
Cancelei
dos dois lados, ficando
Logo
Igualando a segunda e a terceira:
Cancelei
e obtive
Logo
Usando
e substituindo
, encontro
em termos de
:
Resumo das relações:
Passo 7
Usando a restrição de volume para determinar
numericamente.
A restrição
com as relações acima dá:
Calculando o produto:
Isolando
:
Faço a simplificação passo a passo:
logo
Portanto
Aproximação numérica (para usarmos nas dimensões):
Calculei a raiz cúbica e obtive
Calculei a raiz cúbica e obtive
Agora obtenho
e
:
(Confirmei mentalmente que
— na prática, a conta direta dá exatamente o volume exigido dentro do arredondamento.)
Pequena observação sobre mínimo: as taxas são positivas e a função
é homogênea e bem comportada; o ponto crítico obtido é único e fornece o mínimo de perda total sob a restrição, portanto podemos aceitá-lo como solução que minimiza a perda.