estão 5. Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As paredes leste e oeste perdem calor a uma taxa de 10 unidades m^{2} por dia; as paredes norte e sul, a uma taxa de 8 unidades / m^{2} por dia; o piso, a uma taxa de 1 unidade / m^{2} por dia; e o teto a a uma taxa de 5 unidades / m^{2} por dia. Sabendo que volume do prédio deve ser exatamente 14400 \mathrm{~m}^{3}, encontre as dimensões do prédio que minimizam a perda de calor.

Passo 1

O problema pede: encontrar as dimensões (comprimento, largura e altura) de um prédio retangular que minimizam a perda total de calor, dada a taxa de perda por unidade de área de cada face, sabendo que o volume do prédio deve ser exatamente \,14400\\ \mathrm{m}^3.
Informações fornecidas:
  • As paredes leste e oeste (duas faces opostas) perdem calor à taxa de 10 unidades por \mathrm{m}^2 por dia.
  • As paredes norte e sul (duas faces opostas) perdem calor à taxa de 8 unidades por \mathrm{m}^2 por dia.
  • O piso perde calor à taxa de 1 unidade por \mathrm{m}^2 por dia.
  • O teto perde calor à taxa de 5 unidades por \mathrm{m}^2 por dia.
  • Volume fixo: \,14400\\ \mathrm{m}^3.
Coisas que vamos precisar (lista de dados úteis):
  • Cada face do par de paredes contribui com sua área multiplicada pela taxa indicada.
  • Há duas faces para cada par de paredes (leste/oeste e norte/sul); piso e teto são uma face cada.
  • Precisamos encontrar as dimensões que minimizam a soma dessas contribuições, sujeitas à restrição de volume.

Passo 2

Escolha de variáveis e expressão da perda total.
Defino:
\,x = comprimento na direção norte–sul (m),
\,y = largura na direção leste–oeste (m),
\,z = altura (m).
Áreas das faces:
  • Paredes leste e oeste: cada uma tem área \,y z. Como há duas e cada uma perde à taxa 10, o total dessas duas é
2\cdot 10 \cdot y z = 20\,y z.
  • Paredes norte e sul: cada uma tem área \,x z. Com taxa 8 e duas faces:
2\cdot 8 \cdot x z = 16\,x z.
  • Piso: área \,x y, taxa 1: contribuição \,1\cdot x y = x y.
  • Teto: área \,x y, taxa 5: contribuição \,5\cdot x y = 5 x y.
Somando piso e teto:
x y + 5 x y = 6 x y.
Assim, a perda total diária H (função a minimizar) é
H(x,y,z)=20\,y z + 16\,x z + 6\,x y.
Restrição de volume:
x y z = 14400.

Passo 3

Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
Método escolhido: multiplicadores de Lagrange. Por quê? Temos uma função de três variáveis H(x,y,z) para minimizar sujeita a uma única restrição diferenciável x y z = 14400. O método de Lagrange é apropriado porque nos dá condições necessárias para extremos condicionados: devemos ter o gradiente de H paralelo ao gradiente da restrição g(x,y,z)=x y z. Em termos práticos, introduzimos um multiplicador \lambda e resolvemos um sistema de equações que iguala derivadas parciais. Vou mostrar passo a passo o que isso significa e como calcular.
Breve lembrete do método (didático):
  • Se queremos minimizar H(x,y,z) sujeito a g(x,y,z)=0, definimos a função Lagrange
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=H(x,y,z)-\lambda\big(g(x,y,z)\big).
  • Então impomos as condições
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=0,\qquad g(x,y,z)=0.
Essas equações nos dão candidatos a extremos condicionados.

Passo 4

Montando a Lagrangiana para este problema.
Aqui g(x,y,z)=x y z - 14400. Então escolho
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=20\,y z + 16\,x z + 6\,x y - \lambda\big(x y z - 14400\big).
Agora vou calcular cada derivada parcial e igualar a zero.

Passo 5

Cálculo das derivadas parciais e obtenção das equações.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=16 z + 6 y - \lambda\,y z = 0.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=20 z + 6 x - \lambda\,x z = 0.
Derivando em relação a z:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=20 y + 16 x - \lambda\,x y = 0.
E a restrição:
x y z = 14400.
Essas quatro equações formam o sistema a resolver.

Passo 6

Manipulação das equações para eliminar \lambda e relacionar x,y,z.
Das três primeiras equações, podemos isolar \lambda em cada uma:
  • Da equação em x:
\lambda = \frac{16 z + 6 y}{y z} = \frac{16}{y} + \frac{6}{z}.
  • Da equação em y:
\lambda = \frac{20 z + 6 x}{x z} = \frac{20}{x} + \frac{6}{z}.
  • Da equação em z:
\lambda = \frac{20 y + 16 x}{x y} = \frac{20}{x} + \frac{16}{y}.
Agora igualamos pares dessas expressões para eliminar \lambda.
Igualando a primeira e a segunda:
\frac{16}{y} + \frac{6}{z} = \frac{20}{x} + \frac{6}{z}.
Cancelei \frac{6}{z} dos dois lados, ficando
\frac{16}{y} = \frac{20}{x} \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{y}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}.
Logo
x=\frac{5}{4}\,y.
Igualando a segunda e a terceira:
\frac{20}{x} + \frac{6}{z} = \frac{20}{x} + \frac{16}{y}.
Cancelei \frac{20}{x} e obtive
\frac{6}{z}=\frac{16}{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{y}{z}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}.
Logo
y=\frac{8}{3}\,z.
Usando x=\frac{5}{4}y e substituindo y=\frac{8}{3}z, encontro x em termos de z:
x=\frac{5}{4}\cdot\frac{8}{3}\,z=\frac{40}{12}\,z=\frac{10}{3}\,z.
Resumo das relações:
x=\frac{10}{3}\,z,\qquad y=\frac{8}{3}\,z.

Passo 7

Usando a restrição de volume para determinar z numericamente.
A restrição x y z = 14400 com as relações acima dá:
\left(\frac{10}{3}z\right)\left(\frac{8}{3}z\right)z = 14400.
Calculando o produto:
\frac{80}{9}\,z^3 = 14400.
Isolando z^3:
z^3 = 14400\cdot\frac{9}{80}.
Faço a simplificação passo a passo:
\frac{14400}{80}=180,
logo
z^3 = 180\cdot 9 = 1620.
Portanto
z=\sqrt[3]{1620}.
Aproximação numérica (para usarmos nas dimensões):
Calculei a raiz cúbica e obtive
z \approx 11{,}744\\ \mathrm{m}.
Agora obtenho y e x:
y=\frac{8}{3}\,z \approx \frac{8}{3}\cdot 11{,}744 \approx 31{,}317\\ \mathrm{m},
x=\frac{10}{3}\,z \approx \frac{10}{3}\cdot 11{,}744 \approx 39{,}147\\ \mathrm{m}.
(Confirmei mentalmente que x y z \approx 39{,}147\cdot 31{,}317\cdot 11{,}744 \approx 14400\cdot 10^3 — na prática, a conta direta dá exatamente o volume exigido dentro do arredondamento.)
Pequena observação sobre mínimo: as taxas são positivas e a função H é homogênea e bem comportada; o ponto crítico obtido é único e fornece o mínimo de perda total sob a restrição, portanto podemos aceitá-lo como solução que minimiza a perda.

Resposta

x=\dfrac{10}{3}\sqrt[3]{1620}\\ \mathrm{m}\approx 39{,}147\\ \mathrm{m}
y=\dfrac{8}{3}\sqrt[3]{1620}\\ \mathrm{m}\approx 31{,}317\\ \mathrm{m}
z=\sqrt[3]{1620}\\ \mathrm{m}\approx 11{,}744\\ \mathrm{m}

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