Questão 4. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função
na região
Passo 1
O enunciado pede: "Determinar o valor máximo e o valor mínimo da função
na região
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O domínio é o quadrado fechado
. - Queremos os extremos absolutos (globais) de
sobre esse quadrado.
Passo 2
Procuramos pontos críticos no interior do quadrado resolvendo
. Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero obtemos o sistema
Dividindo por
e escrevendo de forma clara:
Substituindo
em
dá
Isso implica
Logo
ou
. Para cada
obtemos
: se
então
; se
então
. Assim os pontos críticos interiores são
e
, ambos dentro de
.
Passo 3
Classificamos os pontos críticos pelo teste das segundas derivadas. Calculamos as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana é
- Em
: , , . Então
e
. Portanto
é um ponto de mínimo local.
- Em
: , , . Então
portanto
é um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo).
Passo 4
Avaliamo
nos pontos críticos interiores:
Passo 5
Agora verificamos as fronteiras do quadrado. Primeiro a aresta
, com
. Nesta aresta
Isto é função de uma variável com derivada
, logo é crescente em
. Portanto na aresta
o mínimo ocorre em
com valor
e o máximo em
com valor
:
Passo 6
A aresta
, com
. Definimos
Derivando:
Zerando:
. Apenas
está em
. Avaliamos
em
:
Observação:
é aproximadamente
. Assim na aresta
o máximo é
(em
) e o mínimo nessa aresta é
(em
).
Passo 7
A aresta
, com
. Aqui
função crescente em
. Então mínimo em
com valor
e máximo em
com valor
:
Passo 8
A aresta
, com
. Definimos
Derivando:
Zerando:
. Apenas
está em
. Avaliamos
em
:
Portanto na aresta
o máximo é
(em
) e o mínimo nessa aresta é
(em
).
Passo 9
Reunimos todos os candidatos a extremos (críticos no interior, pontos críticos das arestas e vértices) e seus valores:
-
: . -
: (sela). - Vértices e extremos das arestas:
e com ; com . - Pontos interiores das arestas:
e com .
Comparando os valores numéricos/exatos:
. Assim o menor valor encontrado é
em
e o maior valor é
atingido em
e
.
Resposta
Valor máximo:
em
e
.\n
Valor mínimo: em
.
Valor mínimo: