Questão 4. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f(x, y)=x^{3}-3 x y+y^{3} na região
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leqslant x \leqslant 2 \text { e } 0 \leqslant y \leqslant 2\right\} \text {. }

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar o valor máximo e o valor mínimo da função f(x,y)=x^{3}-3xy+y^{3} na região
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: 0\le x\le 2\\ \text{e}\\\ 0\le y\le 2\}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}-3xy+y^{3}.
  • O domínio é o quadrado fechado [0,2]\times[0,2].
  • Queremos os extremos absolutos (globais) de f sobre esse quadrado.

Passo 2

Procuramos pontos críticos no interior do quadrado resolvendo \nabla f=0. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3y,
\frac{\partial f}{\partial y}=-3x+3y^{2}.
Igualando a zero obtemos o sistema
3x^{2}-3y=0,\qquad -3x+3y^{2}=0.
Dividindo por 3 e escrevendo de forma clara:
x^{2}-y=0\quad\Rightarrow\quad y=x^{2},
-y^{2}+x=0\quad\Rightarrow\quad x=y^{2}.
Substituindo y=x^{2} em x=y^{2}
x=(x^{2})^{2}=x^{4}.
Isso implica
x^{4}-x=0\quad\Rightarrow\quad x(x^{3}-1)=0.
Logo x=0 ou x=1. Para cada x obtemos y=x^{2}: se x=0 então y=0; se x=1 então y=1. Assim os pontos críticos interiores são (0,0) e (1,1), ambos dentro de R.

Passo 3

Classificamos os pontos críticos pelo teste das segundas derivadas. Calculamos as segundas derivadas:
f_{xx}=6x,\qquad f_{xy}=-3,\qquad f_{yy}=6y.
O determinante da Hessiana é
D=f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2}= (6x)(6y)-(-3)^{2}=36xy-9.
  • Em (1,1): f_{xx}=6, f_{yy}=6, f_{xy}=-3. Então
D(1,1)=36\cdot1\cdot1-9=27>0
e f_{xx}(1,1)=6>0. Portanto (1,1) é um ponto de mínimo local.
  • Em (0,0): f_{xx}=0, f_{yy}=0, f_{xy}=-3. Então
D(0,0)=36\cdot0\cdot0-9=-9<0,
portanto (0,0) é um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo).

Passo 4

Avaliamo f nos pontos críticos interiores:
f(0,0)=0^{3}-3\cdot0\cdot0+0^{3}=0,
f(1,1)=1^{3}-3\cdot1\cdot1+1^{3}=1-3+1=-1.

Passo 5

Agora verificamos as fronteiras do quadrado. Primeiro a aresta x=0, com y\in[0,2]. Nesta aresta
f(0,y)=y^{3}.
Isto é função de uma variável com derivada 3y^{2}\ge0, logo é crescente em [0,2]. Portanto na aresta x=0 o mínimo ocorre em y=0 com valor 0 e o máximo em y=2 com valor 8:
f(0,0)=0,\qquad f(0,2)=8.

Passo 6

A aresta x=2, com y\in[0,2]. Definimos
g(y)=f(2,y)=2^{3}-3\cdot2\cdot y+y^{3}=8-6y+y^{3}.
Derivando:
g'(y)=3y^{2}-6=3(y^{2}-2).
Zerando: y^{2}=2\Rightarrow y=\pm\sqrt{2}. Apenas y=\sqrt{2} está em [0,2]. Avaliamos g em y=0,\sqrt{2},2:
g(0)=8,
g(2)=8-12+8=4,
g(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{3}-6\sqrt{2}+8=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}+8=8-4\sqrt{2}.
Observação: 8-4\sqrt{2} é aproximadamente 2{,}343. Assim na aresta x=2 o máximo é 8 (em y=0) e o mínimo nessa aresta é 8-4\sqrt{2} (em y=\sqrt{2}).

Passo 7

A aresta y=0, com x\in[0,2]. Aqui
f(x,0)=x^{3},
função crescente em [0,2]. Então mínimo em x=0 com valor 0 e máximo em x=2 com valor 8:
f(0,0)=0,\qquad f(2,0)=8.

Passo 8

A aresta y=2, com x\in[0,2]. Definimos
h(x)=f(x,2)=x^{3}-3x\cdot2+2^{3}=x^{3}-6x+8.
Derivando:
h'(x)=3x^{2}-6=3(x^{2}-2).
Zerando: x=\pm\sqrt{2}. Apenas x=\sqrt{2} está em [0,2]. Avaliamos h em x=0,\sqrt{2},2:
h(0)=8,
h(2)=4,
h(\sqrt{2})=8-4\sqrt{2}.
Portanto na aresta y=2 o máximo é 8 (em x=0) e o mínimo nessa aresta é 8-4\sqrt{2} (em x=\sqrt{2}).

Passo 9

Reunimos todos os candidatos a extremos (críticos no interior, pontos críticos das arestas e vértices) e seus valores:
  • (1,1): f(1,1)=-1.
  • (0,0): f(0,0)=0 (sela).
  • Vértices e extremos das arestas: (0,2) e (2,0) com f=8; (2,2) com f=4.
  • Pontos interiores das arestas: (2,\sqrt{2}) e (\sqrt{2},2) com f=8-4\sqrt{2}\approx 2{,}343.
Comparando os valores numéricos/exatos: -1 < 0 < 8-4\sqrt{2}\\ (<4) <4 <8. Assim o menor valor encontrado é -1 em (1,1) e o maior valor é 8 atingido em (0,2) e (2,0).

Resposta

Valor máximo: 8 em (0,2) e (2,0).\n
Valor mínimo: -1 em (1,1).

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