Questão 3. A função f(x, y)=(x-2)^{3}+y^{5}-3 x-5 y+1 possui quatro pontos críticos. Classifique-os em pontos de mínimo local, máximo local ou pontos de scla, útilizàndo o teste da 2^{a} derivada.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=(x-2)^{3}+y^{5}-3x-5y+1
e pede que a gente encontre os quatro pontos críticos e os classifique (mínimo local, máximo local ou ponto de sela) usando o teste da 2ª derivada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função explícita \;f(x,y)=(x-2)^{3}+y^{5}-3x-5y+1\;.
  • O enunciado afirma que existem quatro pontos críticos (isso confirma que, ao resolver o sistema gradiente = 0, encontraremos quatro soluções reais).
  • Precisamos aplicar o teste da 2ª derivada (ou seja, avaliar derivadas segundas e o determinante da Hessiana) para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (passo a passo):
  • Um ponto (x_0,y_0) é crítico quando o gradiente de f em (x_0,y_0) é o vetor nulo. O gradiente é o par das derivadas parciais primeiras:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Portanto, devemos calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} e resolver o sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Agora calculamos as derivadas parciais de forma direta (derivada parcial trata uma variável como variável e a outra como constante).
Calculemos \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\big((x-2)^3\big)=3(x-2)^2,
\frac{\partial}{\partial x}(-3x)=-3,
e os termos em y e constantes somam zero. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}=3(x-2)^2-3.
Calculemos \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^5\big)=5y^4,
\frac{\partial}{\partial y}(-5y)=-5,
os termos em x e constantes somam zero. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}=5y^4-5.

Passo 3

Resolver o sistema das derivadas parciais iguais a zero:
3(x-2)^2-3=0,\qquad 5y^4-5=0.
Resolver a equação em x:
3(x-2)^2-3=0 \implies 3\big((x-2)^2-1\big)=0 \implies (x-2)^2=1.
Portanto
x-2=\pm 1 \implies x=2\pm 1.
Logo as soluções para x são \;x=1\; e \;x=3\;.
Resolver a equação em y:
5y^4-5=0 \implies 5(y^4-1)=0 \implies y^4=1.
As soluções reais de y^4=1 são \;y=\pm 1\; (as outras raízes são complexas). Logo y=1 ou y=-1.
Combinações dos valores de x e y dão os quatro pontos críticos:
(1,1),\\ (1,-1),\\ (3,1),\\ (3,-1).

Passo 4

Explicando o teste da 2ª derivada (Hessiana) e como usá-lo:
  • Definimos as segundas derivadas parciais:
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
  • A matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\[4pt] f_{xy}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{pmatrix}.
  • Definimos o determinante
D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^2.
  • Critério de classificação (teste da 2ª derivada):
    • Se D>0 e f_{xx}>0 em (x_0,y_0), então f tem mínimo local em (x_0,y_0).
    • Se D>0 e f_{xx}<0 em (x_0,y_0), então f tem máximo local em (x_0,y_0).
    • Se D<0 em (x_0,y_0), então (x_0,y_0) é ponto de sela.
    • Se D=0, o teste é inconclusivo.
  • Intuição curta: f_{xx} e f_{yy} representam curvaturas nas direções dos eixos; o determinante combina essas curvaturas e indica se a forma é “côncava” consistente (mínimo), “convexa” consistente (máximo) ou mista (sela).]

Passo 5

Calcular as segundas derivadas para a nossa função:
  • Já tínhamos \;f_x=3(x-2)^2-3\;. Derivando em x novamente:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3(x-2)^2-3\big)=6(x-2).
  • Já tínhamos \;f_y=5y^4-5\;. Derivando em y novamente:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(5y^4-5\big)=20y^3.
  • Derivada mista:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big)=\frac{\partial}{\partial y}\big(3(x-2)^2-3\big)=0,
pois f_x não depende de y. Assim f_{xy}=0 e portanto D=f_{xx}f_{yy}.

Passo 6

Avaliar f_{xx}, f_{yy} e D em cada ponto crítico e classificar:
  1. Ponto (1,1):
  • Calcule f_{xx}(1,1)=6(1-2)=6(-1)=-6.
  • Calcule f_{yy}(1,1)=20(1)^3=20.
  • Determinante D(1,1)=f_{xx}f_{yy}=(-6)\cdot 20=-120.
  • Como D(1,1)=-120<0, pelo critério temos ponto de sela.
    Logo (1,1) é ponto de sela.
  1. Ponto (1,-1):
  • Calcule f_{xx}(1,-1)=6(1-2)= -6 (mesmo que antes).
  • Calcule f_{yy}(1,-1)=20(-1)^3=20(-1)=-20.
  • Determinante D(1,-1)=(-6)\cdot(-20)=120>0.
  • Como D>0 e f_{xx}=-6<0, pelo critério temos máximo local.
    Logo (1,-1) é máximo local.
  1. Ponto (3,1):
  • Calcule f_{xx}(3,1)=6(3-2)=6(1)=6.
  • Calcule f_{yy}(3,1)=20(1)^3=20.
  • Determinante D(3,1)=6\cdot 20=120>0.
  • Como D>0 e f_{xx}=6>0, pelo critério temos mínimo local.
    Logo (3,1) é mínimo local.
  1. Ponto (3,-1):
  • Calcule f_{xx}(3,-1)=6(3-2)=6.
  • Calcule f_{yy}(3,-1)=20(-1)^3=-20.
  • Determinante D(3,-1)=6\cdot(-20)=-120<0.
  • Como D<0, temos ponto de sela.
    Logo (3,-1) é ponto de sela.

Resposta

(1,1): ponto de sela.
(1,-1): máximo local.
(3,1): mínimo local.
(3,-1): ponto de sela.

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