Questão 3. A função
possui quatro pontos críticos. Classifique-os em pontos de mínimo local, máximo local ou pontos de scla, útilizàndo o teste da
derivada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente encontre os quatro pontos críticos e os classifique (mínimo local, máximo local ou ponto de sela) usando o teste da 2ª derivada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função explícita
. - O enunciado afirma que existem quatro pontos críticos (isso confirma que, ao resolver o sistema gradiente = 0, encontraremos quatro soluções reais).
- Precisamos aplicar o teste da 2ª derivada (ou seja, avaliar derivadas segundas e o determinante da Hessiana) para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (passo a passo):
- Um ponto
é crítico quando o gradiente de em é o vetor nulo. O gradiente é o par das derivadas parciais primeiras:
- Portanto, devemos calcular
e e resolver o sistema
Agora calculamos as derivadas parciais de forma direta (derivada parcial trata uma variável como variável e a outra como constante).
Calculemos
:
e os termos em
e constantes somam zero. Assim
Calculemos
:
os termos em
e constantes somam zero. Assim
Passo 3
Resolver o sistema das derivadas parciais iguais a zero:
Resolver a equação em
:
Portanto
Logo as soluções para
são
e
.
Resolver a equação em
:
As soluções reais de
são
(as outras raízes são complexas). Logo
ou
.
Combinações dos valores de
e
dão os quatro pontos críticos:
Passo 4
Explicando o teste da 2ª derivada (Hessiana) e como usá-lo:
- Definimos as segundas derivadas parciais:
- A matriz Hessiana é
- Definimos o determinante
- Critério de classificação (teste da 2ª derivada):
- Se
e em , então tem mínimo local em . - Se
e em , então tem máximo local em . - Se
em , então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
- Se
- Intuição curta:
e representam curvaturas nas direções dos eixos; o determinante combina essas curvaturas e indica se a forma é “côncava” consistente (mínimo), “convexa” consistente (máximo) ou mista (sela).]
Passo 5
Calcular as segundas derivadas para a nossa função:
- Já tínhamos
. Derivando em novamente:
- Já tínhamos
. Derivando em novamente:
- Derivada mista:
pois
não depende de
. Assim
e portanto
.
Passo 6
Avaliar
,
e
em cada ponto crítico e classificar:
- Ponto
:
- Calcule
. - Calcule
. - Determinante
. - Como
, pelo critério temos ponto de sela.
Logoé ponto de sela.
- Ponto
:
- Calcule
(mesmo que antes). - Calcule
. - Determinante
. - Como
e , pelo critério temos máximo local.
Logoé máximo local.
- Ponto
:
- Calcule
. - Calcule
. - Determinante
. - Como
e , pelo critério temos mínimo local.
Logoé mínimo local.
- Ponto
:
- Calcule
. - Calcule
. - Determinante
. - Como
, temos ponto de sela.
Logoé ponto de sela.