A função densidade de probabilidade de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória
é
a) Calcule a probabilidade
a) Calcule a probabilidade
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ definida para a variável aleatória $ X $. O conteúdo envolvido aqui é Probabilidade e Integração, já que vamos calcular a probabilidade de $ X $ estar em um intervalo específico. Para resolver, vamos precisar integrar a função $ f(x) $ entre os limites fornecidos.
Passo 2
A função densidade de probabilidade $ f(x) $ está definida da seguinte forma:
Isso significa que para valores de $ x $ entre 1 e 5, a função $ f(x) $ varia conforme $ \frac{1}{8}(5 - x) $, e fora desse intervalo, a função é zero.
Passo 3
Queremos calcular a probabilidade $ P(1 < x < 2,6) $. Isso equivale a encontrar a área sob a curva da função $ f(x) $ entre $ x = 1 $ e $ x = 2,6 $. Matematicamente, isso é representado pela integral definida:
Passo 4
Substituindo a função $ f(x) $ na integral, temos:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.
Passo 6
Agora, avaliamos a integral nos limites de 1 a 2,6:
Calculando cada parte:
Para $ x = 2,6 $:
Para $ x = 1 $:
Passo 7
Subtraindo os valores:
Multiplicando pela constante fora da integral:
Resposta
A probabilidade $ P(1 < x < 2,6) $ é igual a 0,64.