Uma estatística feita nas quarenta lojas de uma cidade, tendo em vista um estudo sobre o número de empregados no comércio, mostrou os seguintes números de empregados existentes em cada loja:
5 8 10 4 2 3 2 3 2 10
2 2 3 5 7 1 12 26 5 3
2 5 3 3 19 9 5 4 1 2
6 14 1 3 6 18 2 4 2 8
Construa a tabela de frequências, o respectivo gráfico e o gráfico das frequências acumuladas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dados.
  • Pedido: construir (i) a tabela de frequências, (ii) o respectivo gráfico de frequências e (iii) o gráfico das frequências acumuladas (ogiva).
  • Dados: os números de empregados nas quarenta lojas (copiados do enunciado):
5,\;8,\;10,\;4,\;2,\;3,\;2,\;3,\;2,\;10,\\\\ 2,\;2,\;3,\;5,\;7,\;1,\;12,\;26,\;5,\;3,\\\\ 2,\;5,\;3,\;3,\;19,\;9,\;5,\;4,\;1,\;2,\\\\ 6,\;14,\;1,\;3,\;6,\;18,\;2,\;4,\;2,\;8.
  • Informação relevante a usar: total de observações n=40. Vamos organizar os valores distintos (1, 2, 3, …) e contar quantas lojas têm cada número de empregados para obter a frequência absoluta n_i; depois calculamos frequência relativa p_i=\dfrac{n_i}{40} e as frequências acumuladas.

Passo 2

Contagem das ocorrências (como se faz e execução ao pé da letra).
  • Método de contagem: percorrer a lista de dados e agrupar por valor; para cada valor x somar 1 cada vez que aparece. Isto produz a frequência absoluta n_i para cada x.
  • Aplicando ao conjunto dado obtemos as contagens (ordenadas por valor de x):
Valor x: 1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9,\;10,\;12,\;14,\;18,\;19,\;26.
Frequências absolutas n_i correspondentes (contagem direta):
n_i:\;3,\;9,\;7,\;3,\;5,\;2,\;1,\;2,\;1,\;2,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1.
Verificação de consistência: a soma das n_i é
3+9+7+3+5+2+1+2+1+2+1+1+1+1+1=40,
que confere com n=40.

Passo 3

Cálculo das frequências relativas e acumuladas (fórmulas e exemplos).
  • Fórmulas que usamos:
    • Frequência relativa: p_i=\dfrac{n_i}{n}, onde n=40.
    • Frequência absoluta acumulada: N_i=\sum_{j\le i} n_j.
    • Frequência relativa acumulada: P_i=\dfrac{N_i}{n}.
  • Exemplos de cálculo (mostrando como se faz para alguns valores):
    • Para x=1: n_1=3, logo p_1=\dfrac{3}{40}=0,075. A frequência acumulada N_1=3, P_1=\dfrac{3}{40}=0,075.
    • Para x=2: n_2=9, p_2=\dfrac{9}{40}=0,225. A acumulada N_2=N_1+n_2=3+9=12, P_2=\dfrac{12}{40}=0,30.
    • Para x=3: n_3=7, p_3=\dfrac{7}{40}=0,175. N_3=12+7=19, P_3=\dfrac{19}{40}=0,475.
  • Repetindo essas operações para todos os valores obtemos a tabela completa (próximo passo).

Passo 4

Construção final da tabela de frequências (colunas: x, n_i, p_i, N_i, P_i).
  • Cabeçalhos: Valor x ;|; Frequência absoluta n_i ;|; Frequência relativa p_i=\dfrac{n_i}{40} ;|; Freq. absoluta acumulada N_i ;|; Freq. relativa acumulada P_i=\dfrac{N_i}{40}.
Linhas (ordenadas por x):
  • x=1: n_i=3, p_i=\dfrac{3}{40}=0,075, N_i=3, P_i=0,075.
  • x=2: n_i=9, p_i=\dfrac{9}{40}=0,225, N_i=12, P_i=0,30.
  • x=3: n_i=7, p_i=\dfrac{7}{40}=0,175, N_i=19, P_i=0,475.
  • x=4: n_i=3, p_i=\dfrac{3}{40}=0,075, N_i=22, P_i=0,55.
  • x=5: n_i=5, p_i=\dfrac{5}{40}=0,125, N_i=27, P_i=0,675.
  • x=6: n_i=2, p_i=\dfrac{2}{40}=0,05, N_i=29, P_i=0,725.
  • x=7: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=30, P_i=0,75.
  • x=8: n_i=2, p_i=\dfrac{2}{40}=0,05, N_i=32, P_i=0,8.
  • x=9: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=33, P_i=0,825.
  • x=10: n_i=2, p_i=\dfrac{2}{40}=0,05, N_i=35, P_i=0,875.
  • x=12: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=36, P_i=0,9.
  • x=14: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=37, P_i=0,925.
  • x=18: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=38, P_i=0,95.
  • x=19: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=39, P_i=0,975.
  • x=26: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=40, P_i=1,0.

Passo 5

Como construir o gráfico de frequências (passo a passo prático).
  • Tipo de gráfico recomendado: diagrama de barras (gráfico de colunas), pois os dados são discretos por número de empregados.
  • Eixos:
    • Eixo horizontal (x): valores de empregados x (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 18, 19, 26).
    • Eixo vertical (y): frequência absoluta n_i (de 0 até, pelo menos, 9 neste caso).
  • Para cada valor x desenhar uma barra cuja altura seja n_i. Por exemplo, a barra em x=2 tem altura 9; em x=3 tem altura 7; em x=1 tem altura 3; etc.
  • Se quiser o gráfico de frequências relativas em vez de absolutas, usar o eixo y como p_i (de 0 até 1), com alturas 0,075, 0,225, 0,175, …
  • Pontos e coordenadas úteis (para plotagem de barras centrais ou marcadores): (1,3),\;(2,9),\;(3,7),\;(4,3),\;(5,5),\;(6,2),\;(7,1),\;(8,2),\;(9,1),\;(10,2),\;(12,1),\;(14,1),\;(18,1),\;(19,1),\;(26,1).
  • Dicas de visual: deixar espaço entre barras para realçar valores ausentes entre 10 e 12 por exemplo; rotular o eixo x com todos os valores observados; colocar título e legenda se necessário.

Passo 6

Como construir o gráfico das frequências acumuladas (ogiva) — passo a passo.
  • Tipo de gráfico: ogiva (polilinha crescente) que mostra a frequência acumulada em função do valor de x.
  • Eixos:
    • Eixo horizontal (x): valores de empregados x (mesmos valores usados na tabela).
    • Eixo vertical (y): frequência relativa acumulada P_i (variando de 0 a 1).
  • Pontos a plotar (pares (x,P_i)): (1,0,075),\;(2,0,30),\;(3,0,475),\;(4,0,55),\;(5,0,675),\;(6,0,725),\;(7,0,75),\;(8,0,8),\;(9,0,825),\;(10,0,875),
(12,0,9),\;(14,0,925),\;(18,0,95),\;(19,0,975),\;(26,1,0).
(Observação: os números usam vírgula decimal conforme a convenção pedida.)
  • Traçar uma linha poligonal que ligue esses pontos na ordem crescente de x. Opcionalmente adicionar o ponto inicial (x_{\min}-\varepsilon,0) (por exemplo (0,0)) para começar a curva em zero.
  • Interpretação prática: para um dado valor x na ogiva, a ordenada mostra a proporção (ou número) de lojas com até x empregados. Ex.: em x=5 a altura 0,675 significa que 67,5\% das lojas têm até 5 empregados.

Resposta

Tabela de frequências (colunas: x, n_i, p_i=\dfrac{n_i}{40}, N_i, P_i=\dfrac{N_i}{40}):
x=1: n_i=3, p_i=\dfrac{3}{40}=0,075, N_i=3, P_i=0,075
x=2: n_i=9, p_i=\dfrac{9}{40}=0,225, N_i=12, P_i=0,30
x=3: n_i=7, p_i=\dfrac{7}{40}=0,175, N_i=19, P_i=0,475
x=4: n_i=3, p_i=\dfrac{3}{40}=0,075, N_i=22, P_i=0,55
x=5: n_i=5, p_i=\dfrac{5}{40}=0,125, N_i=27, P_i=0,675
x=6: n_i=2, p_i=\dfrac{2}{40}=0,05, N_i=29, P_i=0,725
x=7: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=30, P_i=0,75
x=8: n_i=2, p_i=\dfrac{2}{40}=0,05, N_i=32, P_i=0,8
x=9: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=33, P_i=0,825
x=10: n_i=2, p_i=\dfrac{2}{40}=0,05, N_i=35, P_i=0,875
x=12: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=36, P_i=0,9
x=14: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=37, P_i=0,925
x=18: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=38, P_i=0,95
x=19: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=39, P_i=0,975
x=26: n_i=1, p_i=\dfrac{1}{40}=0,025, N_i=40, P_i=1,0
Gráfico de frequências (barras): barras com alturas (pares (x,n_i)):
(1,3),\;(2,9),\;(3,7),\;(4,3),\;(5,5),\;(6,2),\;(7,1),\;(8,2),\;(9,1),\;(10,2),\;(12,1),\;(14,1),\;(18,1),\;(19,1),\;(26,1).
Gráfico das frequências acumuladas (ogiva): pontos (x,P_i):
(1,0,075),\;(2,0,30),\;(3,0,475),\;(4,0,55),\;(5,0,675),\;(6,0,725),\;(7,0,75),\;(8,0,8),\;(9,0,825),\;(10,0,875),\;(12,0,9),\;(14,0,925),\;(18,0,95),\;(19,0,975),\;(26,1,0).

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