Medindo-se o diâmetro externo de uma engrenagem, foram obtidos valores, em milímetros, de acordo com a seguinte distribuição:
Classes f_{i}
1001 \vdash 1010 3
1011-1020 12
1021-1030 28
1031-1040 82
1041-1050 74
1051 \leqslant 1060 30
1061 \leqslant 1070 17
1071 \leqslant 1080 40
Calcule a média, o desvio-padrão e a mediana desse lote de peças.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição por classes (diâmetros em milímetros) com as respectivas frequências absolutas f_i. As perguntas são: calcular a média, o desvio-padrão amostral e a mediana do lote.
Lista das classes e frequências fornecidas:
\begin{array}{ll} \text{Classe} & f_i\\[2pt]\hline 1001\dash 1010 & 3\\\\ 1011\dash 1020 & 12\\\\ 1021\dash 1030 & 28\\\\ 1031\dash 1040 & 82\\\\ 1041\dash 1050 & 74\\\\ 1051\leqslant 1060 & 30\\\\ 1061\leqslant 1070 & 17\\\\ 1071\leqslant 1080 & 40 \end{array}
Informações úteis extraídas:
  • 8 classes, aparentemente com amplitude (largura) constante h=10 mm.
  • Frequências f_i: 3,\,12,\,28,\,82,\,74,\,30,\,17,\,40.
  • O total de observações será N=\sum f_i (calcular no passo seguinte).
    A resolução numérica começa no próximo passo.]

Passo 2

Vou transformar a tabela em pontos representativos usando os pontos médios de cada classe (isso é padrão para dados agrupados). O ponto médio x_i de uma classe cuja extremidade inferior é a e superior é b é
x_i=\frac{a+b}{2}.
Calculemos os pontos médios:
\begin{array}{ll} \text{Classe} & x_i\\[2pt]\hline 1001\dash1010 & x_1=\dfrac{1001+1010}{2}=1005{,}5\\[6pt] 1011\dash1020 & x_2=\dfrac{1011+1020}{2}=1015{,}5\\[6pt] 1021\dash1030 & x_3=\dfrac{1021+1030}{2}=1025{,}5\\[6pt] 1031\dash1040 & x_4=\dfrac{1031+1040}{2}=1035{,}5\\[6pt] 1041\dash1050 & x_5=\dfrac{1041+1050}{2}=1045{,}5\\[6pt] 1051\dash1060 & x_6=\dfrac{1051+1060}{2}=1055{,}5\\[6pt] 1061\dash1070 & x_7=\dfrac{1061+1070}{2}=1065{,}5\\[6pt] 1071\dash1080 & x_8=\dfrac{1071+1080}{2}=1075{,}5 \end{array}]

Passo 3

Calcular o total de observações N e a soma \sum f_i x_i (necessária para a média).
Frequências: 3,\,12,\,28,\,82,\,74,\,30,\,17,\,40.
N=\sum_{i=1}^{8} f_i=3+12+28+82+74+30+17+40=286.
Agora os produtos f_i x_i (cada um calculado com o ponto médio determinado):
\begin{aligned} 3\cdot1005{,}5 &=3016{,}5,\\\\ 12\cdot1015{,}5 &=12186{,}0,\\\\ 28\cdot1025{,}5 &=28714{,}0,\\\\ 82\cdot1035{,}5 &=84911{,}0,\\\\ 74\cdot1045{,}5 &=77367{,}0,\\\\ 30\cdot1055{,}5 &=31665{,}0,\\\\ 17\cdot1065{,}5 &=18113{,}5,\\\\ 40\cdot1075{,}5 &=43020{,}0. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{8} f_i x_i =3016{,}5+12186+28714+84911+77367+31665+18113{,}5+43020=298993{,}0.

Passo 4

Cálculo da média amostral para dados agrupados. A fórmula com pontos médios é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} f_i x_i.
Substituindo:
\bar{x}=\frac{298993{,}0}{286}=1045{,}4300699\ldots
Arredondando de forma prática para a prova (duas ou três casas decimais é comum):
\bar{x}\approx 1045{,}430\\ \text{mm}.
Explicação rápida: a média estimada com dados agrupados é a média ponderada dos pontos médios, ponderando pela frequência de cada classe.

Passo 5

Para o desvio-padrão amostral precisamos da soma \sum f_i x_i^2. Primeiro calcule x_i^2 e depois f_i x_i^2:
\begin{aligned} 1005{,}5^2 &=1\,011\,030{,}25 &\Rightarrow&\quad 3\cdot1005{,}5^2=3\,033\,090{,}75,\\[3pt] 1015{,}5^2 &=1\,031\,240{,}25 &\Rightarrow&\quad 12\cdot1015{,}5^2=12\,374\,883{,}00,\\[3pt] 1025{,}5^2 &=1\,051\,650{,}25 &\Rightarrow&\quad 28\cdot1025{,}5^2=29\,446\,207{,}00,\\[3pt] 1035{,}5^2 &=1\,072\,260{,}25 &\Rightarrow&\quad 82\cdot1035{,}5^2=87\,925\,340{,}50,\\[3pt] 1045{,}5^2 &=1\,093\,070{,}25 &\Rightarrow&\quad 74\cdot1045{,}5^2=80\,887\,198{,}50,\\[3pt] 1055{,}5^2 &=1\,114\,080{,}25 &\Rightarrow&\quad 30\cdot1055{,}5^2=33\,422\,407{,}50,\\[3pt] 1065{,}5^2 &=1\,135\,290{,}25 &\Rightarrow&\quad 17\cdot1065{,}5^2=19\,299\,934{,}25,\\[3pt] 1075{,}5^2 &=1\,156\,700{,}25 &\Rightarrow&\quad 40\cdot1075{,}5^2=46\,268\,010{,}00. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{8} f_i x_i^2 =312\,657\,071{,}50.]

Passo 6

Agora usamos a fórmula da variância amostral (estimada a partir de classes):
s^2=\frac{1}{N-1}\Bigg(\sum_{i=1}^{k} f_i x_i^2 - N\bar{x}^2\Bigg).
Já temos \sum f_i x_i^2, N e \bar{x}. Calculando N\bar{x}^2:
\bar{x}^2\approx 1\,092\,924{,}03126\quad\Rightarrow\quad N\bar{x}^2\approx 286\cdot1\,092\,924{,}03126\approx312\,576\,272{,}94.
Então
\sum f_i x_i^2 - N\bar{x}^2 \approx 312\,657\,071{,}50 - 312\,576\,272{,}94 = 80\,798{,}56.
Dividindo por N-1=285:
s^2 \approx \frac{80\,798{,}56}{285}\approx 283{,}5037.
O desvio-padrão amostral é a raiz quadrada:
s\approx\sqrt{283{,}5037}\approx 16{,}838.
Interpretação: o desvio-padrão indica que a dispersão típica dos diâmetros em torno da média é cerca de 16{,}84 mm.

Passo 7

Cálculo da mediana para dados agrupados. Procedimento:
  • Primeiro encontrar N/2. Aqui N/2=286/2=143.
  • Determinar a classe que contém o 143-ésimo valor (classe mediana): acumule frequências até passar de 143.
Cumulativas:
\begin{aligned} &\text{até }1001\!\dash\!1010: 3\\\ &\text{até }1011\!\dash\!1020: 3+12=15\\\ &\text{até }1021\!\dash\!1030: 15+28=43\\\ &\text{até }1031\!\dash\!1040: 43+82=125\\\ &\text{até }1041\!\dash\!1050: 125+74=199. \end{aligned}
O 143-ésimo elemento está na classe 1041\dash1050 (porque a cumulativa anterior é 125<143 e depois sobe para 199\ge 143). Essa é a classe mediana.
Fórmula da mediana (dados agrupados, usando limites de classe contínuos):
\text{Mediana}=L+\frac{\tfrac{N}{2}-F_{\text{ant}}}{f_m}\,h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana (usamos limites contínuos: L=1040{,}5),
  • F_{\text{ant}} é a cumulativa antes da classe mediana ( F_{\text{ant}}=125),
  • f_m é a frequência da classe mediana ( f_m=74),
  • h é a amplitude da classe ( h=10).
Substituindo:
\text{Mediana}=1040{,}5+\frac{143-125}{74}\cdot10=1040{,}5+\frac{18}{74}\cdot10=1040{,}5+2{,}432432\ldots
Logo
\text{Mediana}\approx 1042{,}932\\ \text{mm}.

Resposta

\bar{x}\approx 1045{,}430\\ \text{mm}
s\approx 16{,}838\\ \text{mm}
\text{Mediana}\approx 1042{,}932\\ \text{mm}

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