Medindo-se o diâmetro externo de uma engrenagem, foram obtidos valores, em milímetros, de acordo com a seguinte distribuição:
Classes
3
12
28
82
74
30
17
40
Calcule a média, o desvio-padrão e a mediana desse lote de peças.
| Classes |
|
|
|
3 |
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12 |
|
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28 |
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82 |
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74 |
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30 |
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17 |
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40 |
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição por classes (diâmetros em milímetros) com as respectivas frequências absolutas
. As perguntas são: calcular a média, o desvio-padrão amostral e a mediana do lote.
Lista das classes e frequências fornecidas:
Informações úteis extraídas:
- Há
classes, aparentemente com amplitude (largura) constante mm. - Frequências
: . - O total de observações será
(calcular no passo seguinte).
A resolução numérica começa no próximo passo.]
Passo 2
Vou transformar a tabela em pontos representativos usando os pontos médios de cada classe (isso é padrão para dados agrupados). O ponto médio
de uma classe cuja extremidade inferior é
e superior é
é
Calculemos os pontos médios:
]
Passo 3
Calcular o total de observações
e a soma
(necessária para a média).
Frequências: .
Frequências:
Agora os produtos
(cada um calculado com o ponto médio determinado):
Somando:
Passo 4
Cálculo da média amostral para dados agrupados. A fórmula com pontos médios é
Substituindo:
Arredondando de forma prática para a prova (duas ou três casas decimais é comum):
Explicação rápida: a média estimada com dados agrupados é a média ponderada dos pontos médios, ponderando pela frequência de cada classe.
Passo 5
Para o desvio-padrão amostral precisamos da soma
. Primeiro calcule
e depois
:
Somando:
Passo 6
Agora usamos a fórmula da variância amostral (estimada a partir de classes):
Já temos
,
e
. Calculando
:
Então
Dividindo por
:
O desvio-padrão amostral é a raiz quadrada:
Interpretação: o desvio-padrão indica que a dispersão típica dos diâmetros em torno da média é cerca de
mm.
Passo 7
Cálculo da mediana para dados agrupados. Procedimento:
- Primeiro encontrar
. Aqui . - Determinar a classe que contém o
-ésimo valor (classe mediana): acumule frequências até passar de .
Cumulativas:
O
-ésimo elemento está na classe
(porque a cumulativa anterior é
e depois sobe para
). Essa é a classe mediana.
Fórmula da mediana (dados agrupados, usando limites de classe contínuos):
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana (usamos limites contínuos: ), -
é a cumulativa antes da classe mediana ( ), -
é a frequência da classe mediana ( ), -
é a amplitude da classe ( ).
Substituindo:
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