Em estatística a função E(x)=2raizpi integral0^x e^-t^2 d t recebe o nome de
Função Erro. Encontre a Série de Maclaurin da função E(x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin da função erro definida por E(x)=2raizpiintegral0^xe^-t^2,dt. O conteúdo é série de Taylor em torno de zero e vamos precisar expandir e^-t^2 em série de potências e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a expansão de Maclaurin de e^u é e^u=sumn=0^inftyu^nn!. Substituindo u=-t^2, temos:
e^-t^2=sumn=0^infty(-1)^nn!,t^2n

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 até x:
integral0^xe^-t^2,dt=integral0^xsumn=0^infty(-1)^nn!t^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nn!integral0^xt^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nn!x^2n+12n+1

Passo 4

Multiplicando pelo fator 2/raizpi que define E(x), obtemos a série de Maclaurin completa:
E(x)=2raizpisumn=0^infty(-1)^nn!,(2n+1),x^2n+1

Passo 5

Para visualizar os primeiros termos, escrevemos:
E(x)=2raizpil(x-x^33+x^510-x^742+cdotsr)

Resposta

E(x)=2raizpisumn=0^infty(-1)^nn!,(2n+1),x^2n+1

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