Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
é o retângulo de vértices
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha $\displaystyle \oint_C P,dx + Q,dy$ ao longo da fronteira orientada no sentido anti-horário do retângulo \R, usando o teorema de Green. O conteúdo é converter essa integral de linha numa integral dupla sobre R. Vamos precisar das derivadas parciais \∂Q/∂x e ∂P/∂y\.
Passo 2
Primeiro, identificamos as componentes do campo e aplicamos o teorema de Green, que diz:
Temos
Agora calculamos as derivadas parciais:
$
Logo, o integrando fica
Montamos a integral dupla sobre R, com
variando de 0 a 3 e
de 0 a 2:
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Passo 4
Agora integramos em
:
Resposta
45