Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
(0,0),(3,0),(3,2) é o retângulo de vértices (0,2),

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha $\displaystyle \oint_C P,dx + Q,dy$ ao longo da fronteira orientada no sentido anti-horário do retângulo \R, usando o teorema de Green. O conteúdo é converter essa integral de linha numa integral dupla sobre R. Vamos precisar das derivadas parciais \∂Q/∂x e ∂P/∂y\.

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes do campo e aplicamos o teorema de Green, que diz:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Temos
P(x,y)=x y^42, Q(x,y)=x^4 y2
Agora calculamos as derivadas parciais:
$ partial Qpartial x=4x^3 y2=2x^3y,
partial Ppartial y=4x y^32=2x y^3
Logo, o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y=2x^3y-2xy^3=2xy(x^2-y^2)
Montamos a integral dupla sobre R, com x variando de 0 a 3 e y de 0 a 2:
integral duplaR2xy(x^2-y^2),dA=integralx=0^3integraly=0^2 2xy(x^2-y^2),dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em y:
integral0^22xy(x^2-y^2),dy=2xl[x^2integral0^2y,dy-integral0^2y^3,dyr]=2x(2x^2-4)=4x^3-8x

Passo 4

Agora integramos em x:
integral0^3(4x^3-8x),dx=l[x^4-4x^2r]0^3=3^4-4cdot3^2=81-36=45

Resposta

45

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