Quando estava defendendo a gravitação como um fenômeno universal, Isaac Newton descreveu uma experiência mental: um corpo orbitando a Terra rente à sua superfície após ser lançado com uma específica velocidade. Na nossa realidade, essa experiência é impossível por causa da atmosfera, a qual reduziria a velocidade inicial do corpo, promovendo a sua colisão com a superfície. Em uma realidade alternativa, onde a Terra tinha perdido sua atmosfera, essa experiência foi realizada com um projétil sendo lançado por um poderoso canhão, produzido para esse fim. Considerando que o raio da Terra mede 6,05 mil quilômetros e que a aceleração da gravidade mede 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine a velocidade de disparo desse projétil para realizar tal experiência nessa realidade alternativa.
a) 7,7 \mathrm{~km} / \mathrm{s}
b) 6,4 \mathrm{~km} / \mathrm{s}
c) 4,9 \mathrm{~km} / \mathrm{s}
d) 8,2 \mathrm{~km} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado diz que, numa Terra sem atmosfera, queremos lançar um projétil bem rente à superfície de modo que ele entre em órbita circular. Temos o raio da Terra R=6,05 mil km e a aceleração da gravidade na superfície g=9,8 m/ s^{2}. O conteúdo de física é que, para órbita circular, a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta necessária.

Passo 2

Em órbita circular a aceleração centrípeta é \tfrac{v^2}{R} e deve ser igual à aceleração da gravidade g. Logo,
\frac{v^2}{R}=g
e daí v=\sqrt{g\,R}.

Passo 3

Convertendo o raio para metros:
R=6,05\text{ mil km}=6,05\times10^6\text{ m}.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
v=\sqrt{9,8\cdot6,05\times10^6}\\ \mathrm{m/s} =\sqrt{5,929\times10^7}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calculando numericamente:
\sqrt{5,929\times10^7}\approx7{,}706\times10^3\\ \mathrm{m/s} =7{,}7\\ \mathrm{km/s}.

Passo 6

Comparando com as alternativas, o valor mais próximo é 7,7 km/s, que corresponde à letra (a).

Resposta

(a) 7,7\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}

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