Uma esteira rolante de transporte de peças oscila perpendicularmente à direção de rolagem com frequência de 2 Hz . Para extinguir esse efeito é possível conectar dois osciladores diferentes na máquina. Um com massa de 8 kg e outro com uma mola de
.
Qual deve ser a constante da mola instalada junto à massa de 8 kg ?
Qual deve ser a constante da mola instalada junto à massa de 8 kg ?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A frequência da oscilação indesejada é
. - Será usado um oscilador formado por uma massa
e uma mola com constante (essa é a incógnita que queremos achar). - Existe outro oscilador com constante da mola
(informação dada, mas o que importa para a pergunta é que a frequência alvo é ).
O que o exercício pede: - Determinar o valor da constante da mola que deve ser instalada junto à massa de
de modo que o conjunto tenha a frequência de .
Passo 2
Conceito básico e fórmula útil (explicação didática).
- Um sistema massa-mola ideal, sem atrito, executa movimento harmônico simples com frequência angular
dada por
onde:
-
é a frequência angular em rad/s, -
é a constante da mola em , -
é a massa em . -
A frequência ordinária (ou frequência em hertz)
está relacionada com a frequência angular por
onde
é medida em
(ciclos por segundo) e
é a constante ~3,14159.
- Combinando as duas expressões obtemos a fórmula prática para
:
Explicando cada parte:
converte a frequência em ciclos por segundo para radianos por segundo; ao elevar ao quadrado e multiplicar por
obtem-se a rigidez necessária para que o sistema oscile nessa taxa.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos números do enunciado.
- Temos
e . - Primeiro calcule
:
- Agora eleve ao quadrado:
- Finalmente calcule
usando :
Passo 4
Cálculo numérico e arredondamento (mostrando as contas).
- Sabendo que
, tem-se
- Em notação com três algarismos significativos:
Passo 5
Interpretação rápida e dica de prova (empático e prático).
- Resumindo: para que a massa de
forme um oscilador com frequência , a mola ligada a ela deve ter rigidez cerca de . - Dica para a prova: memorize a fórmula
e, na hora, isole como fizemos. Se der preguiça de calcular mentalmente, deixe o resultado em termos de se o enunciado aceitar forma simbólica; senão faça a aproximação numérica rápida como aqui.