Uma esteira rolante de transporte de peças oscila perpendicularmente à direção de rolagem com frequência de 2 Hz . Para extinguir esse efeito é possível conectar dois osciladores diferentes na máquina. Um com massa de 8 kg e outro com uma mola de k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
Qual deve ser a constante da mola instalada junto à massa de 8 kg ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A frequência da oscilação indesejada é 2\\ \text{Hz}.
  • Será usado um oscilador formado por uma massa m=8\\ \text{kg} e uma mola com constante k (essa é a incógnita que queremos achar).
  • Existe outro oscilador com constante da mola k=200\\ \mathrm{N/m} (informação dada, mas o que importa para a pergunta é que a frequência alvo é 2\\ \text{Hz}).
    O que o exercício pede:
  • Determinar o valor da constante da mola que deve ser instalada junto à massa de 8\\ \text{kg} de modo que o conjunto tenha a frequência de 2\\ \text{Hz}.

Passo 2

Conceito básico e fórmula útil (explicação didática).
  • Um sistema massa-mola ideal, sem atrito, executa movimento harmônico simples com frequência angular \omega dada por
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},
onde:
  • \omega é a frequência angular em rad/s,
  • k é a constante da mola em \mathrm{N/m},
  • m é a massa em \mathrm{kg}.
  • A frequência ordinária (ou frequência em hertz) f está relacionada com a frequência angular por
\omega = 2\pi f,
onde f é medida em \text{Hz} (ciclos por segundo) e \pi é a constante ~3,14159.
  • Combinando as duas expressões obtemos a fórmula prática para k:
\sqrt{\frac{k}{m}} = 2\pi f \quad\Rightarrow\quad k = m\,(2\pi f)^2.
Explicando cada parte: (2\pi f) converte a frequência em ciclos por segundo para radianos por segundo; ao elevar ao quadrado e multiplicar por m obtem-se a rigidez necessária para que o sistema oscile nessa taxa.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos números do enunciado.
  • Temos m=8\\ \mathrm{kg} e f=2\\ \text{Hz}.
  • Primeiro calcule (2\pi f):
2\pi f = 2\pi\cdot 2 = 4\pi.
  • Agora eleve ao quadrado:
(2\pi f)^2 = (4\pi)^2 = 16\pi^2.
  • Finalmente calcule k usando k = m(2\pi f)^2:
k = 8\cdot 16\pi^2 = 128\pi^2.

Passo 4

Cálculo numérico e arredondamento (mostrando as contas).
  • Sabendo que \pi^2 \approx 9{,}869604401, tem-se
k \approx 128 \times 9{,}869604401 \approx 1263{,}31\\ \mathrm{N/m}.
  • Em notação com três algarismos significativos:
k \approx 1{,}26\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Interpretação rápida e dica de prova (empático e prático).
  • Resumindo: para que a massa de 8\\ \mathrm{kg} forme um oscilador com frequência 2\\ \text{Hz}, a mola ligada a ela deve ter rigidez cerca de 1{,}26\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}.
  • Dica para a prova: memorize a fórmula \,f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}\, e, na hora, isole k como fizemos. Se der preguiça de calcular \pi^2 mentalmente, deixe o resultado em termos de \pi^2 se o enunciado aceitar forma simbólica; senão faça a aproximação numérica rápida como aqui.

Resposta

k \approx 1263{,}31\\ \mathrm{N/m}

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