Questão 1: Duas partículas se movimentam no plano x y a partir do instante \mathrm{t}=0 \mathrm{~s}, de acordo com os vetores posição:
\mathbf{R}_{1}(\mathrm{t})=2 \mathrm{t}^{3} i-3 \mathrm{t}^{2} j ;
\mathbb{R}_{2}(\mathrm{t})=(1 / 2) \mathrm{t}^{2} \mathbf{i}+4 \mathrm{t} j;
GABARTVO
Onde i e \mathbf{j} são versores perpendiculares ao longo dos eixos x e y respectivamente. a)Obtenha as velocidades e acelerações instantâneas das duas partículas para qualquer instante t maior ou igual a zero.
b)Determine o instante em que a velocidade da partícula 1 é perpendicular à da partícula 2, \mathrm{e} \mathrm{o} instante onde ambas são nulas.

Passo 1

O enunciado dá as posições das duas partículas (para t\ge0):
\mathbf{R}_{1}(t)=2t^{3}\,\mathbf{i}-3t^{2}\,\mathbf{j}, \qquad \mathbf{R}_{2}(t)=\tfrac{1}{2}t^{2}\,\mathbf{i}+4t\,\mathbf{j}.
O que é pedido:
  • (a) Obter as velocidades e acelerações instantâneas das duas partículas para qualquer t\ge0.
  • (b) Determinar o(s) instante(s) em que a velocidade da partícula 1 é perpendicular à da partícula 2, e o instante (se existir) em que ambas as velocidades são nulas simultaneamente.

Passo 2

Conceitos usados (explicação didática e fórmulas):
  • Velocidade instantânea \mathbf{v}(t) é a derivada da posição: \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{R}}{dt}. Isso significa derivar componente a componente.
  • Aceleração instantânea \mathbf{a}(t) é a derivada da velocidade: \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\mathbf{R}}{dt^{2}}.
  • Regra básica de derivação de potências: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
    Vou aplicar essas regras componente a componente em cada vetor posição.

Passo 3

Derivando \mathbf{R}_{1}(t) para achar \mathbf{v}_{1}(t):
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}(2t^{3})=2\cdot 3 t^{2}=6t^{2}.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}(-3t^{2})=-3\cdot 2 t=-6t.
    Logo
\mathbf{v}_{1}(t)=6t^{2}\,\mathbf{i}-6t\,\mathbf{j}.

Passo 4

Derivando \mathbf{v}_{1}(t) para achar \mathbf{a}_{1}(t):
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}(6t^{2})=6\cdot 2 t=12t.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}(-6t)=-6.
    Logo
\mathbf{a}_{1}(t)=12t\,\mathbf{i}-6\,\mathbf{j}.

Passo 5

Derivando \mathbf{R}_{2}(t) para achar \mathbf{v}_{2}(t):
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}\bigl(\tfrac{1}{2}t^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot 2t=t.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}(4t)=4.
    Logo
\mathbf{v}_{2}(t)=t\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}.

Passo 6

Derivando \mathbf{v}_{2}(t) para achar \mathbf{a}_{2}(t):
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}(t)=1.
  • Componente y: \dfrac{d}{dt}(4)=0.
    Logo
\mathbf{a}_{2}(t)=1\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}=\mathbf{i}.
Observação intuitiva: a aceleração da partícula 2 é constante e aponta ao longo do eixo x.

Passo 7

Para (b) — quando as velocidades são perpendiculares: usar produto escalar.
  • Lembrete: duas vetores \mathbf{u}=(u_x,u_y) e \mathbf{v}=(v_x,v_y) são perpendiculares se e só se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x + u_y v_y=0.
    Calcular \mathbf{v}_{1}(t)\cdot\mathbf{v}_{2}(t):
\mathbf{v}_{1}(t)\cdot\mathbf{v}_{2}(t)=(6t^{2})(t)+(-6t)(4)=6t^{3}-24t.
Factorizando:
6t^{3}-24t=6t(t^{2}-4)=6t(t-2)(t+2).
Resolver \mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=0 com t\ge0 dá as soluções t=0 e t=2 (descartando t=-2 porque t\ge0).

Passo 8

Comentário físico sobre t=0: em t=0 temos \mathbf{v}_{1}(0)=\mathbf{0} e \mathbf{v}_{2}(0)=0\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}=(0,4). Matemática: \mathbf{0} tem produto escalar zero com qualquer vetor, logo aparece como raiz da equação. Fisicamente, dizer que a velocidade de uma partícula é “perpendicular” à de outra requer direção em ambas; como \mathbf{v}_{1}(0)=\mathbf{0} não tem direção, a ortogonalidade em t=0 é um caso degenerado. O instante não-degenerado em que as direções são realmente perpendiculares é t=2 s.

Passo 9

Agora verificar quando ambas as velocidades são nulas simultaneamente:
  • \mathbf{v}_{1}(t)=\mathbf{0} exige 6t^{2}=0 e -6t=0, o que dá t=0.
  • \mathbf{v}_{2}(t)=\mathbf{0} exige t=0 e 4=0. A condição 4=0 é impossível; portanto \mathbf{v}_{2}(t) nunca é o vetor nulo para qualquer t.
    Conclusão: não existe instante t\ge0 em que ambas as velocidades sejam nulas ao mesmo tempo; apenas \mathbf{v}_{1}(0)=\mathbf{0}, mas \mathbf{v}_{2}(0)\neq\mathbf{0}.

Resposta

(a) \mathbf{v}_{1}(t)=6t^{2}\,\mathbf{i}-6t\,\mathbf{j},\quad \mathbf{a}_{1}(t)=12t\,\mathbf{i}-6\,\mathbf{j}.
\mathbf{v}_{2}(t)=t\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j},\quad \mathbf{a}_{2}(t)=\mathbf{i}.
(b) As soluções de \mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=0 com t\ge0 são t=0 e t=2 s (nota: t=0 é caso degenerado porque \mathbf{v}_{1}(0)=\mathbf{0}; o instante não-degenerado é t=2 s).
Não existe instante t\ge0 em que ambas as velocidades sejam nulas simultaneamente (tem-se \mathbf{v}_{1}(0)=\mathbf{0} mas \mathbf{v}_{2}(t) nunca se anula).

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