Questão 1: Duas partículas se movimentam no plano
y a partir do instante
, de acordo com os vetores posição:
;
GABARTVO
Onde
e
são versores perpendiculares ao longo dos eixos
e
respectivamente. a)Obtenha as velocidades e acelerações instantâneas das duas partículas para qualquer instante
maior ou igual a zero.
b)Determine o instante em que a velocidade da partícula 1 é perpendicular à da partícula
instante onde ambas são nulas.
GABARTVO
b)Determine o instante em que a velocidade da partícula 1 é perpendicular à da partícula
Passo 1
O enunciado dá as posições das duas partículas (para
):
O que é pedido:
- (a) Obter as velocidades e acelerações instantâneas das duas partículas para qualquer
. - (b) Determinar o(s) instante(s) em que a velocidade da partícula 1 é perpendicular à da partícula 2, e o instante (se existir) em que ambas as velocidades são nulas simultaneamente.
Passo 2
Conceitos usados (explicação didática e fórmulas):
- Velocidade instantânea
é a derivada da posição: . Isso significa derivar componente a componente. - Aceleração instantânea
é a derivada da velocidade: . - Regra básica de derivação de potências:
.
Vou aplicar essas regras componente a componente em cada vetor posição.
Passo 3
Derivando
para achar
:
- Componente
: . - Componente
: .
Logo
Passo 4
Derivando
para achar
:
- Componente
: . - Componente
: .
Logo
Passo 5
Derivando
para achar
:
- Componente
: . - Componente
: .
Logo
Passo 6
Derivando
para achar
:
- Componente
: . - Componente
: .
Logo
Observação intuitiva: a aceleração da partícula 2 é constante e aponta ao longo do eixo
.
Passo 7
Para (b) — quando as velocidades são perpendiculares: usar produto escalar.
- Lembrete: duas vetores
e são perpendiculares se e só se .
Calcular:
Factorizando:
Resolver
com
dá as soluções
e
(descartando
porque
).
Passo 8
Comentário físico sobre
: em
temos
e
. Matemática:
tem produto escalar zero com qualquer vetor, logo aparece como raiz da equação. Fisicamente, dizer que a velocidade de uma partícula é “perpendicular” à de outra requer direção em ambas; como
não tem direção, a ortogonalidade em
é um caso degenerado. O instante não-degenerado em que as direções são realmente perpendiculares é
s.
Passo 9
Agora verificar quando ambas as velocidades são nulas simultaneamente:
-
exige e , o que dá . -
exige e . A condição é impossível; portanto nunca é o vetor nulo para qualquer .
Conclusão: não existe instanteem que ambas as velocidades sejam nulas ao mesmo tempo; apenas , mas .
Resposta
(a)
(b) As soluções de
com
são
e
s (nota:
é caso degenerado porque
; o instante não-degenerado é
s).
Não existe instante em que ambas as velocidades sejam nulas simultaneamente (tem-se
mas
nunca se anula).
Não existe instante