Uma esteira rolante de transporte de peças oscila perpendicularmente à direção de rolagem com frequência de 2 Hz . Para extinguir esse efeito é possível conectar dois osciladores diferentes na máquina. Um com massa de 8 kg e outro com uma mola de
.
Calcule o valor da massa que deve ser acoplada à segunda mola.
Calcule o valor da massa que deve ser acoplada à segunda mola.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que é útil):
- A esteira oscila com frequência de
. - Existe um oscilador com massa
. - Existe outro oscilador formado por uma mola com constante elástica
e uma massa desconhecida que devemos determinar (a massa que deve ser acoplada à segunda mola).
O que o problema pede: calcular o valor deque deve ser acoplada à segunda mola para que a montagem atinja a condição desejada (ou seja, para “extinguir” a oscilação de conforme indicado pelo enunciado).
Passo 2
Entender a física básica que usamos aqui (pequena aula, passo a passo).
- Um sistema massa-mola que oscila livremente obedece à lei de Hooke e tem movimento harmônico simples (aproximação linear).
- A frequência natural (frequência de oscilação) de um oscilador massa-mola é dada por:
onde
é a frequência angular (em
),
é a constante da mola (em
) e
é a massa (em
).
- A relação entre frequência angular
e frequência em hertz é:
- Combinando essas duas fórmulas obtém-se a fórmula prática que usamos frequentemente:
Explicando as variáveis:
é a frequência em ciclos por segundo (
),
é a medida de quão “rígida” é a mola, e
controla a inércia — massa maior → oscila mais devagar.
Passo 3
Decidir o que igualar: para “extinguir” a oscilação provocada pela esteira (ou seja, para que o oscilador atue na mesma frequência da perturbação) precisamos que o oscilador massa-mola tenha a mesma frequência
. Logo impomos:
Agora vamos isolar
. Primeiro escrevemos em termos de
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Isolando
:
Essa é a fórmula que dá a massa necessária para uma mola de constante
oscilar com frequência
.
Passo 4
Substituir os valores numéricos dados:
e
.
Calculemos passo a passo:
Calculemos passo a passo:
Portanto
Podemos simplificar um pouco a fração:
Agora a aproximação numérica. Como
,
Arredondando de forma conveniente para duas casas decimais (bom para uma resposta de engenharia):
Passo 5
Comentário prático e incentivo (rápido):
- A massa necessária é bastante pequena, cerca de
, porque a mola é relativamente “mole” em comparação com a massa de . - Se quiser, dá para checar o contrário: uma massa de
precisa de uma mola com para oscilar a . Isso ajuda a entender ordens de grandeza.
Força nisso — você já está indo bem ao pedir passo a passo!