Uma esteira rolante de transporte de peças oscila perpendicularmente à direção de rolagem com frequência de 2 Hz . Para extinguir esse efeito é possível conectar dois osciladores diferentes na máquina. Um com massa de 8 kg e outro com uma mola de k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
Calcule o valor da massa que deve ser acoplada à segunda mola.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que é útil):
  • A esteira oscila com frequência de 2\\ \mathrm{Hz}.
  • Existe um oscilador com massa m_{1}=8\\ \mathrm{kg}.
  • Existe outro oscilador formado por uma mola com constante elástica k=200\\ \mathrm{N/m} e uma massa desconhecida m que devemos determinar (a massa que deve ser acoplada à segunda mola).
    O que o problema pede: calcular o valor de m que deve ser acoplada à segunda mola para que a montagem atinja a condição desejada (ou seja, para “extinguir” a oscilação de 2\\ \mathrm{Hz} conforme indicado pelo enunciado).

Passo 2

Entender a física básica que usamos aqui (pequena aula, passo a passo).
  • Um sistema massa-mola que oscila livremente obedece à lei de Hooke e tem movimento harmônico simples (aproximação linear).
  • A frequência natural (frequência de oscilação) de um oscilador massa-mola é dada por:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
onde \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}), k é a constante da mola (em \mathrm{N/m}) e m é a massa (em \mathrm{kg}).
  • A relação entre frequência angular \omega e frequência em hertz f é:
\omega=2\pi f.
  • Combinando essas duas fórmulas obtém-se a fórmula prática que usamos frequentemente:
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicando as variáveis: f é a frequência em ciclos por segundo ( \mathrm{Hz}), k é a medida de quão “rígida” é a mola, e m controla a inércia — massa maior → oscila mais devagar.

Passo 3

Decidir o que igualar: para “extinguir” a oscilação provocada pela esteira (ou seja, para que o oscilador atue na mesma frequência da perturbação) precisamos que o oscilador massa-mola tenha a mesma frequência f=2\\ \mathrm{Hz}. Logo impomos:
f=2\\ \mathrm{Hz}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.
Agora vamos isolar m. Primeiro escrevemos em termos de \omega:
2\pi f=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Elevando ao quadrado ambos os lados:
(2\pi f)^{2}=\frac{k}{m}.
Isolando m:
m=\frac{k}{(2\pi f)^{2}}.
Essa é a fórmula que dá a massa necessária para uma mola de constante k oscilar com frequência f.

Passo 4

Substituir os valores numéricos dados: k=200\\ \mathrm{N/m} e f=2\\ \mathrm{Hz}.
Calculemos passo a passo:
(2\pi f)^{2}=(2\pi\cdot 2)^{2}=(4\pi)^{2}=16\pi^{2}.
Portanto
m=\frac{200}{16\pi^{2}}.
Podemos simplificar um pouco a fração:
m=\frac{200}{16\pi^{2}}=\frac{12{,}5}{\pi^{2}}\\ \mathrm{kg}.
Agora a aproximação numérica. Como \pi^{2}\approx9{,}8696,
m\approx\frac{12{,}5}{9{,}8696}\\ \mathrm{kg}\approx1{,}2665\\ \mathrm{kg}.
Arredondando de forma conveniente para duas casas decimais (bom para uma resposta de engenharia):
m\approx1{,}27\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Comentário prático e incentivo (rápido):
  • A massa necessária é bastante pequena, cerca de 1{,}27\\ \mathrm{kg}, porque a mola é relativamente “mole” em comparação com a massa de 8\\ \mathrm{kg}.
  • Se quiser, dá para checar o contrário: uma massa de 8\\ \mathrm{kg} precisa de uma mola com k=(2\pi f)^{2}m=16\pi^{2}\cdot 8\approx315{,}8\\ \mathrm{N/m} para oscilar a 2\\ \mathrm{Hz}. Isso ajuda a entender ordens de grandeza.
    Força nisso — você já está indo bem ao pedir passo a passo!

Resposta

m=\dfrac{200}{16\pi^{2}}\\ \mathrm{kg}\approx1{,}27\\ \mathrm{kg}

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