Se Ganimedes fosse parada instantaneamente e começasse a cair em Júpiter, acelerada unicamente pela força gravitacional do planeta, qual sera a velocidade da lua ao chegar à “superficie” de Júpiter?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumindo claramente):
- Dados fornecidos:
- Massa de Júpiter:
. - Raio de Júpiter:
.
- Massa de Júpiter:
- Informação necessária que vou assumir (valor típico conhecido de Ganimedes): raio orbital médio de Ganimedes em torno de Júpiter:
-
- Pergunta: se Ganimedes for instantaneamente parada e cair livremente atraída apenas pela gravidade de Júpiter, qual será a sua velocidade ao atingir a “superfície” (raio) de Júpiter?
Passo 2
Ideia física que vou usar (explicada passo a passo, sem pular etapas):
- Conservação da energia mecânica para uma massa pequena
(a massa de Ganimedes é desprezível em comparação com a de Júpiter para calcular a velocidade final): a energia mecânica total inicial (energia potencial gravitacional + energia cinética) é igual à energia mecânica total final. - Energia potencial gravitacional por unidade de massa (potencial gravitacional) de um corpo devido a Júpiter é
, onde: -
é a constante gravitacional universal ( ), -
é a massa de Júpiter, -
é a distância ao centro de Júpiter.
-
- Se a lua parte do repouso relativo a Júpiter em
(energia cinética inicial zero) e atinge a superfície em com velocidade , então a variação do potencial se transforma em energia cinética por unidade de massa: que simplifica para - Isolando
: - Observação didática: se a queda fosse a partir do infinito, o termo
seria zero e a velocidade ao atingir seria a velocidade de escape . Aqui começamos de uma distância finita, por isso a velocidade será um pouco menor que .
Passo 3
Substituindo os números passo a passo (cálculo organizado e explicado):
- Primeiro calcule
: Multiplicando: (a conta foi feita agrupando os coeficientes e somando os expoentes: e , então .)
Passo 4
Calcular a diferença de inversos de raios
:
- Converter raios para metros (já feito no Passo 1):
- Calcule
e : - Diferença:
Passo 5
Calcular
e
:
- Produto
vezes a diferença: - Multiplicando por 2 para obter
: - Raiz quadrada para obter
: - Convertendo para km/s:
Passo 6
Interpretação rápida e limitações (o que essa resposta assume):
- A velocidade encontrada é cerca de
. - Hipóteses feitas:
- Ganimedes foi parada instantaneamente em relação a Júpiter (energia cinética inicial zero).
- A única força que age é a gravidade de Júpiter (descartadas forças de maré, resistência atmosférica, perdas por aquecimento, interação com magnetosfera, etc.).
- A “superfície” de Júpiter foi tomada como o raio dado
(Júpiter é um gigante gasoso sem superfície sólida; na prática haveria atmosfera espessa que diminuiria muito a velocidade real antes de qualquer “impacto”). - A massa de Ganimedes é desprezada na dinâmica (aproximação de partícula testem) — essa é boa porque
.
- Para referência: a velocidade de escape de Júpiter (queda a partir do infinito) seria
portanto o resultado faz sentido: é um pouco menor que a velocidade de queda a partir do infinito porque Ganimedes parte de uma distância finita.