Se Ganimedes fosse parada instantaneamente e começasse a cair em Júpiter, acelerada unicamente pela força gravitacional do planeta, qual sera a velocidade da lua ao chegar à “superficie” de Júpiter?
M_{J}=1,8986 \times 10^{27} ; R_{J}=69911 \mathrm{~km}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumindo claramente):
  • Dados fornecidos:
    • Massa de Júpiter: M_{J}=1{,}8986\times10^{27}\\ \mathrm{kg}.
    • Raio de Júpiter: R_{J}=69\,911\\ \mathrm{km}=6{,}9911\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
  • Informação necessária que vou assumir (valor típico conhecido de Ganimedes): raio orbital médio de Ganimedes em torno de Júpiter:
    • r_{G}=1\,070\,400\\ \mathrm{km}=1{,}0704\times10^{9}\\ \mathrm{m}.
  • Pergunta: se Ganimedes for instantaneamente parada e cair livremente atraída apenas pela gravidade de Júpiter, qual será a sua velocidade ao atingir a “superfície” (raio) de Júpiter?

Passo 2

Ideia física que vou usar (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • Conservação da energia mecânica para uma massa pequena m (a massa de Ganimedes é desprezível em comparação com a de Júpiter para calcular a velocidade final): a energia mecânica total inicial (energia potencial gravitacional + energia cinética) é igual à energia mecânica total final.
  • Energia potencial gravitacional por unidade de massa (potencial gravitacional) de um corpo devido a Júpiter é \Phi(r)=-\dfrac{G M_{J}}{r}, onde:
    • G é a constante gravitacional universal ( G\approx6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}),
    • M_{J} é a massa de Júpiter,
    • r é a distância ao centro de Júpiter.
  • Se a lua parte do repouso relativo a Júpiter em r=r_{G} (energia cinética inicial zero) e atinge a superfície em r=R_{J} com velocidade v, então a variação do potencial se transforma em energia cinética por unidade de massa: \frac{v^{2}}{2} = \Phi(R_{J}) - \Phi(r_{G}) = -\frac{G M_{J}}{R_{J}} -\Big(-\frac{G M_{J}}{r_{G}}\Big)que simplifica para \frac{v^{2}}{2} = G M_{J}\!\left(\frac{1}{R_{J}}-\frac{1}{r_{G}}\right).
  • Isolando v: v = \sqrt{2 G M_{J}\!\left(\frac{1}{R_{J}}-\frac{1}{r_{G}}\right)}.
  • Observação didática: se a queda fosse a partir do infinito, o termo 1/r_{G} seria zero e a velocidade ao atingir R_{J} seria a velocidade de escape v_{\text{esc}}=\sqrt{2GM_J/R_J}. Aqui começamos de uma distância finita, por isso a velocidade será um pouco menor que v_{\text{esc}}.

Passo 3

Substituindo os números passo a passo (cálculo organizado e explicado):
  • Primeiro calcule G M_{J}: G = 6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}},\qquad M_{J}=1{,}8986\times10^{27}\\ \mathrm{kg}.Multiplicando: G M_{J} = (6{,}67430\times10^{-11})\times(1{,}8986\times10^{27}) = 1{,}26718\times10^{17}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.(a conta foi feita agrupando os coeficientes e somando os expoentes: 6{,}67430\cdot1{,}8986\approx12{,}6718 e -11+27=16, então 12{,}6718\times10^{16}=1{,}26718\times10^{17}.)

Passo 4

Calcular a diferença de inversos de raios \dfrac{1}{R_{J}}-\dfrac{1}{r_{G}}:
  • Converter raios para metros (já feito no Passo 1): R_{J}=6{,}9911\times10^{7}\\ \mathrm{m},\qquad r_{G}=1{,}0704\times10^{9}\\ \mathrm{m}.
  • Calcule \dfrac{1}{R_{J}} e \dfrac{1}{r_{G}}: \frac{1}{R_{J}} \approx 1{,}43058\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{-1}}, \qquad \frac{1}{r_{G}} \approx 9{,}3428\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Diferença: \frac{1}{R_{J}}-\frac{1}{r_{G}} \approx 1{,}43058\times10^{-8} - 9{,}3428\times10^{-10} = 1{,}33715\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Calcular v^{2} e v:
  • Produto G M_{J} vezes a diferença: G M_{J}\!\left(\frac{1}{R_{J}}-\frac{1}{r_{G}}\right) \approx (1{,}26718\times10^{17})\times(1{,}33715\times10^{-8}) = 1{,}69439\times10^{9}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-2}}.
  • Multiplicando por 2 para obter v^{2}: v^{2} = 2\times1{,}69439\times10^{9} = 3{,}38878\times10^{9}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-2}}.
  • Raiz quadrada para obter v: v = \sqrt{3{,}38878\times10^{9}}\approx5{,}82\times10^{4}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Convertendo para km/s: v \approx 58{,}2\\ \mathrm{km\,s^{-1}}.

Passo 6

Interpretação rápida e limitações (o que essa resposta assume):
  • A velocidade encontrada é cerca de 58{,}2\\ \mathrm{km\,s^{-1}}.
  • Hipóteses feitas:
    • Ganimedes foi parada instantaneamente em relação a Júpiter (energia cinética inicial zero).
    • A única força que age é a gravidade de Júpiter (descartadas forças de maré, resistência atmosférica, perdas por aquecimento, interação com magnetosfera, etc.).
    • A “superfície” de Júpiter foi tomada como o raio dado R_{J} (Júpiter é um gigante gasoso sem superfície sólida; na prática haveria atmosfera espessa que diminuiria muito a velocidade real antes de qualquer “impacto”).
    • A massa de Ganimedes é desprezada na dinâmica (aproximação de partícula testem) — essa é boa porque M_{G}\ll M_{J}.
  • Para referência: a velocidade de escape de Júpiter (queda a partir do infinito) seria v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2 G M_{J}}{R_{J}}}\approx60{,}2\\ \mathrm{km\,s^{-1}},portanto o resultado 58{,}2\\ \mathrm{km\,s^{-1}} faz sentido: é um pouco menor que a velocidade de queda a partir do infinito porque Ganimedes parte de uma distância finita.

Resposta

v \approx 5{,}82\times10^{4}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \approx 58{,}2\\ \mathrm{km\,s^{-1}}

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