Determine se cada afirmação dada é verdadeira (V) ou falsa (F).
(F)
Se uma curva
tiver uma reta tangente horizontal em
, então
não está definida.
(V) Se a reta tangente ao gráfico de
em
tiver inclinação negativa, então
.
(F) Se uma função
for contínua em
, então
sempre será derivável em
.
(V) Se uma função
for derivável em
, então
sempre será contínua em
.
(V) Se uma curva
tiver uma “quina” em
, então
não está definida.
(2,5 pts)
(F)
(V) Se a reta tangente ao gráfico de
(F) Se uma função
(V) Se uma função
(V) Se uma curva
(2,5 pts)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). As afirmações são as seguintes:
-
(F) Se uma curva
tiver uma reta tangente horizontal em , então não está definida. -
(V) Se a reta tangente ao gráfico de
em tiver inclinação negativa, então . -
(F) Se uma função
for contínua em , então sempre será derivável em . -
(V) Se uma função
for derivável em , então sempre será contínua em . -
(V) Se uma curva
tiver uma “quina” em , então não está definida.
A tarefa é justificar, passo a passo e didaticamente, por que cada afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição operacional do que é derivada em um ponto e o que significa “reta tangente” e “inclinação”.
Definição da derivada em
:
quando esse limite existe (é finito). Essa fração
é chamada de diferença quociente e representa a “inclinação média” entre os pontos
e
. Se o limite existir, ele é a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto
.
O que é uma reta tangente horizontal em
:
- Dizer que a reta tangente é horizontal significa que a inclinação (o coeficiente angular) dessa reta é zero. Pela definição acima, se existe uma reta tangente e ela é horizontal, o número que representa essa inclinação é precisamente
e esse número deve ser .
Com isso em mente, analisamos a afirmação 1) no próximo passo.
Passo 3
Analisando a afirmação 1): “Se uma curva
tiver uma reta tangente horizontal em
, então
não está definida.”
Explicação didática:
- Se existe uma reta tangente em
e ela é horizontal, isso significa que a inclinação da reta tangente é . - Pela definição da derivada, a inclinação da reta tangente (quando ela existe) é exatamente
. - Logo, se a reta tangente horizontal existe, então
. Portanto está definida (e vale ), não indefinida.
Contraexemplo concreto (pequena aula prática):
- Tome
e . - Calculamos a derivada por definição:
. - O gráfico de
tem uma tangente horizontal em e a derivada em está perfeitamente definida e igual a .
Conclusão: a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação 2): “Se a reta tangente ao gráfico de
em
tiver inclinação negativa, então
.”
Explicação didática:
- Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, a inclinação da reta tangente no ponto
(se a reta tangente existe) é exatamente . - Dizer que a inclinação é negativa é dizer que esse número é menor que zero.
- Portanto, se a reta tangente tem inclinação negativa, então
.
Exemplo rápido:
- Considere
. A derivada é para todo . Em particular, em temos . O gráfico tem reta tangente com inclinação negativa em todo ponto.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação 3): “Se uma função
for contínua em
, então
sempre será derivável em
.”
Explicação didática:
- Continuidade em
significa:
- Derivabilidade em
exige a existência do limite:
finito. A continuidade sozinha não garante que esse limite exista.
Contraexemplo clássico (muito didático):
em
.
- Primeiro,
é contínua em porque . - Agora calculamos as derivadas laterais:
- As derivadas laterais são diferentes (
e ), assim o limite total não existe, portanto não é derivável em , apesar de ser contínua.
Conclusão: a afirmação é falsa.
Passo 6
Analisando a afirmação 4): “Se uma função
for derivável em
, então
sempre será contínua em
.”
Explicação didática e demonstração breve:
- Suponha que
seja derivável em . Então existe o limite
- Multiplicando ambos os lados por
(e lembrando que ), podemos escrever
- Como o primeiro limite é
(finito) e o segundo é , o produto é . Assim
ou seja
, que é precisamente a continuidade em
.
Intuição simples: derivada existe significa que o quociente da variação de
pela variação de
tende a um número finito quando
; isso força a variação de
a ir para
, então
.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 7
Analisando a afirmação 5): “Se uma curva
tiver uma ‘quina’ em
, então
não está definida.”
Explicação didática:
- Por “quina” entende-se um ponto onde o gráfico muda de direção abruptamente; geometricamente há duas tangentes laterais com inclinações diferentes à esquerda e à direita de
. Em termos de derivada, isso significa que as derivadas laterais (limites para e ) existem possivelmente, mas são diferentes. - Para a derivada existir em
é necessário que as duas derivadas laterais coincidam. Se elas são diferentes, o limite central não existe e, portanto, não existe.
Exemplo (novamente
em
):
- O gráfico de
tem uma quina em . - As derivadas laterais são
e , diferentes, então não existe.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Resposta
F
V
F
V
V
V
F
V
V