Determine se cada afirmação dada é verdadeira (V) ou falsa (F).
(F)
Se uma curva y=f(x) tiver uma reta tangente horizontal em x=a, então f^{\prime}(a) não está definida.
(V) Se a reta tangente ao gráfico de y=f(x) em x=-2 tiver inclinação negativa, então f^{\prime}(-2)<0.
(F) Se uma função f(x) for contínua em x=0, então f(x) sempre será derivável em x=0.
(V) Se uma função f(x) for derivável em x=0, então f(x) sempre será contínua em x=0.
(V) Se uma curva y=f(x) tiver uma “quina” em x=a, então f^{\prime}(a) não está definida.
(2,5 pts)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). As afirmações são as seguintes:
  1. (F) Se uma curva y=f(x) tiver uma reta tangente horizontal em x=a, então f^{\prime}(a) não está definida.
  2. (V) Se a reta tangente ao gráfico de y=f(x) em x=-2 tiver inclinação negativa, então f^{\prime}(-2)<0.
  3. (F) Se uma função f(x) for contínua em x=0, então f(x) sempre será derivável em x=0.
  4. (V) Se uma função f(x) for derivável em x=0, então f(x) sempre será contínua em x=0.
  5. (V) Se uma curva y=f(x) tiver uma “quina” em x=a, então f^{\prime}(a) não está definida.
A tarefa é justificar, passo a passo e didaticamente, por que cada afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição operacional do que é derivada em um ponto e o que significa “reta tangente” e “inclinação”.
Definição da derivada em x=a:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
quando esse limite existe (é finito). Essa fração \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} é chamada de diferença quociente e representa a “inclinação média” entre os pontos x e a. Se o limite existir, ele é a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto x=a.
O que é uma reta tangente horizontal em x=a:
  • Dizer que a reta tangente é horizontal significa que a inclinação (o coeficiente angular) dessa reta é zero. Pela definição acima, se existe uma reta tangente e ela é horizontal, o número que representa essa inclinação é precisamente f'(a) e esse número deve ser 0.
Com isso em mente, analisamos a afirmação 1) no próximo passo.

Passo 3

Analisando a afirmação 1): “Se uma curva y=f(x) tiver uma reta tangente horizontal em x=a, então f^{\prime}(a) não está definida.”
Explicação didática:
  • Se existe uma reta tangente em x=a e ela é horizontal, isso significa que a inclinação da reta tangente é 0.
  • Pela definição da derivada, a inclinação da reta tangente (quando ela existe) é exatamente f'(a).
  • Logo, se a reta tangente horizontal existe, então f'(a)=0. Portanto f'(a) está definida (e vale 0), não indefinida.
Contraexemplo concreto (pequena aula prática):
  • Tome f(x)=x^{2} e a=0.
  • Calculamos a derivada por definição: \displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^{2}-0}{x-0}=\lim_{x\to0}x=0.
  • O gráfico de y=x^{2} tem uma tangente horizontal em x=0 e a derivada em 0 está perfeitamente definida e igual a 0.
Conclusão: a afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação 2): “Se a reta tangente ao gráfico de y=f(x) em x=-2 tiver inclinação negativa, então f^{\prime}(-2)<0.”
Explicação didática:
  • Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, a inclinação da reta tangente no ponto x=-2 (se a reta tangente existe) é exatamente f'(-2).
  • Dizer que a inclinação é negativa é dizer que esse número é menor que zero.
  • Portanto, se a reta tangente tem inclinação negativa, então f'(-2)<0.
Exemplo rápido:
  • Considere f(x)=-x. A derivada é f'(x)=-1 para todo x. Em particular, em x=-2 temos f'(-2)=-1<0. O gráfico tem reta tangente com inclinação negativa em todo ponto.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação 3): “Se uma função f(x) for contínua em x=0, então f(x) sempre será derivável em x=0.”
Explicação didática:
  • Continuidade em x=0 significa:
\lim_{x\to0}f(x)=f(0).
  • Derivabilidade em x=0 exige a existência do limite:
\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
finito. A continuidade sozinha não garante que esse limite exista.
Contraexemplo clássico (muito didático): f(x)=|x| em x=0.
  • Primeiro, f é contínua em 0 porque \lim_{x\to0}|x|=0=f(0).
  • Agora calculamos as derivadas laterais:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{|x|-0}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{x}{x}=1,
\lim_{x\to0^{-}}\frac{|x|-0}{x}=\lim_{x\to0^{-}}\frac{-x}{x}=-1.
  • As derivadas laterais são diferentes ( 1 e -1), assim o limite total não existe, portanto f não é derivável em 0, apesar de ser contínua.
Conclusão: a afirmação é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmação 4): “Se uma função f(x) for derivável em x=0, então f(x) sempre será contínua em x=0.”
Explicação didática e demonstração breve:
  • Suponha que f seja derivável em 0. Então existe o limite
L=f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}.
  • Multiplicando ambos os lados por x (e lembrando que \lim_{x\to0}x=0), podemos escrever
\lim_{x\to0}\big(f(x)-f(0)\big)=\lim_{x\to0}\left(\frac{f(x)-f(0)}{x}\right)\cdot\lim_{x\to0}x.
  • Como o primeiro limite é L (finito) e o segundo é 0, o produto é L\cdot 0=0. Assim
\lim_{x\to0}\big(f(x)-f(0)\big)=0,
ou seja \lim_{x\to0}f(x)=f(0), que é precisamente a continuidade em 0.
Intuição simples: derivada existe significa que o quociente da variação de f pela variação de x tende a um número finito quando x\to0; isso força a variação de f a ir para 0, então f(x)\to f(0).
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 7

Analisando a afirmação 5): “Se uma curva y=f(x) tiver uma ‘quina’ em x=a, então f^{\prime}(a) não está definida.”
Explicação didática:
  • Por “quina” entende-se um ponto onde o gráfico muda de direção abruptamente; geometricamente há duas tangentes laterais com inclinações diferentes à esquerda e à direita de a. Em termos de derivada, isso significa que as derivadas laterais (limites para x\to a^{-} e x\to a^{+}) existem possivelmente, mas são diferentes.
  • Para a derivada existir em a é necessário que as duas derivadas laterais coincidam. Se elas são diferentes, o limite central não existe e, portanto, f'(a) não existe.
Exemplo (novamente f(x)=|x| em a=0):
  • O gráfico de |x| tem uma quina em 0.
  • As derivadas laterais são -1 e 1, diferentes, então f'(0) não existe.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Resposta

F
V
F
V
V

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