Estima-se que, daqui a t anos, certo bairro terá uma população de P(t)=20-6t+2 mil habitantes. Qual será a população do bairro daqui a 8 anos? Qual será o aumento da população durante o nono ano? O que acontece com P(t) para grandes valores de t ? Interprete o resultado!

Passo 1

O enunciado dá a população estimada em mil habitantes daqui a t anos pela função
P(t)=20-6t+2
Queremos (a) o valor de P(8), (b) o aumento durante o nono ano, isto é, P(9)-P(8), e (c) o que acontece com P(t) quando ttoinfty. Para isso vamos usar substituição, diferença de valores da função e limite de função racional.

Passo 2

Para encontrar P(8) substituímos t=8 em
P(t)=20-6t+2=22-6t
Logo
P(8)=22-68=22-34=2114(mil habitantes)

Passo 3

O aumento no nono ano é
P(9)-P(8)=l(22-69r)-l(22-68r) =l(22-tfrac23r)-l(22-tfrac34r) =34-23=112(mil)
Em número de pessoas isso dá
112times1000approx83,3 habitantes

Passo 4

Para grandes t temos
limttoinftyP(t)=limttoinftyl(22-6tr)=22(mil habitantes)
Isto significa que a população se aproxima assintoticamente de 22000 habitantes, ou seja, tende a estabilizar-se nesse valor máximo.

Resposta

(a) P(8)=21,25 mil habitantes.
(b) Aumento no nono ano = 0,0833 mil approx 83 habitantes.
(c) limttoinftyP(t)=22 mil habitantes: população tende a estabilizar em 22000.

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