Justifique a afirmação a seguir se for verdadeira ou apresente um contra-exemplo se for falsa.
(0,75 points )[] Se lim x 3 f(x)=7 e f é definida em R então f(3)=7.

Passo 1

O enunciado afirma que se limxto3f(x)=7 e f está definida em R, então f(3)=7.
O conteúdo aqui é definição de limite de função e sua relação (ou não) com o valor da função no ponto. Vamos usar a definição de limite para ver se ela impõe alguma condição sobre f(3).

Passo 2

Por definição, dizer que
limxto3f(x)=7
significa que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<de<a, temos |f(x)-7|<varepsilon.
Note que essa condição envolve apenas valores de f(x) para xneq3. O valor f(3) em si não entra nessa definição, de modo que nada garante que f(3) deva ser igual a 7.

Passo 3

Um contra-exemplo clássico ilustra isso: seja
f(x)= 7, & xneq3, 0, & x=3
Para xneq3, f(x)=7, logo ao nos aproximarmos de 3 temos
limxto3f(x)=7
Porém, f(3)=0neq7.

Passo 4

Esse exemplo mostra que a existência de limxto3f(x)=7 não obriga f(3) a ser 7. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a função
f(x)= 7, & xneq3, 0, & x=3,
pois limxto3f(x)=7 mas f(3)=0.

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