Use o método de Picard para resolver o problema de valor inicial
y^prime=t^2+y^2, y(0)=0

Passo 1

O problema dado é a EDO não linear y'(t)=t^2+y^2 com valor inicial y(0)=0. Vamos usar o método de Picard (iterações sucessivas) que baseia-se na forma integral da solução e na construção de aproximações yn+1(t)=y(0)+integral0^t [s^2+yn(s)^2],ds.

Passo 2

A forma integral correspondente à EDO é
y(t)=y(0)+integral0^tl(s^2+y(s)^2r),ds
Como y(0)=0, temos
y(t)=integral0^tl(s^2+y(s)^2r),ds

Passo 3

Escolhemos a aproximação inicial (zero-ésima) como
y0(t)=0

Passo 4

Primeira iteração: substituindo y0 na forma integral,
y1(t)=integral0^tl(s^2+0^2r),ds=integral0^ts^2,ds=t^33

Passo 5

Segunda iteração: usamos y1 na integral,
y2(t)=integral0^tl(s^2+l(tfracs^33r)^2r),ds=integral0^tl(s^2+s^69r),ds=t^33+t^763

Passo 6

Terceira iteração: substituímos y2 na integral,
y3(t)=integral0^tl(s^2+l(tfracs^33+tfracs^763r)^2r),ds =t^33+t^763+2,t^112079+t^1559535

Resposta

As aproximações de Picard são:
y0(t)=0,
y1(t)=tfract^33,
y2(t)=tfract^33+tfract^763,
y3(t)=tfract^33+tfract^763+tfrac2,t^112079+tfract^1559535,
e assim por diante, fornecendo a série de potências que converge localmente à solução de y'(t)=t^2+y^2, y(0)=0.

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