Estima-se que daqui a x anos o valor V(x) de um hectare de terra na zona rural estará aumentando à razão de V^prime(x)=0,4 x^3raiz0,2 x^4+8000, reais por ano. O valor atual da terra é de RS 500,00 o hectare.
Determine V(x).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função V(x) sabendo que sua derivada é V’(x)= 0,4 x^3raiz0,2 x^4 + 8000 e que o valor inicial é V(0)=500. O conteúdo aqui é integração de uma derivada com condição inicial.

Passo 2

Para obter V(x), integramos V’(x). Então, temos:
V(x)=integral 0,4,x^3raiz0,2,x^4+8000,dx + C

Passo 3

Fazemos a substituição
u=0,2,x^4+8000, du=0,8,x^3,dx
Observe que
0,4,x^3,dx=tfrac12,du
e
raizu=u^1/2
Assim a integral vira
integral 0,4,x^3raiz0,2,x^4+8000,dx=integral 12u^-1/2,du

Passo 4

Calculamos a antiderivada:
integral tfrac12 u^-1/2,du= u^1/2+C=raizu+C
Voltando para x:
V(x)=raiz0,2,x^4+8000+C

Passo 5

Usamos a condição inicial V(0)=500:
V(0)=raiz8000+C=500
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C=500-raiz8000

Resposta

V(x)=raiz0,2,x^4+8000+500-raiz8000

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