Use o Teorema (13.8) para determinar uma equação polar da cônica com foco no pólo e excentricidade e equação da diretriz dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar o Teorema (13.8) para encontrar a equação polar de uma cônica com foco no pólo. A gente já sabe que a excentricidade $ c = \frac{1}{3} $ e que a equação da diretriz é $ r = 2 \sec \theta $. Vamos precisar entender o que é uma cônica em coordenadas polares, o que representa a excentricidade, e como relacionar isso com a diretriz para chegar à equação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as cônicas (como elipse, parábola e hipérbole) podem ser descritas em coordenadas polares com uma equação geral:
Aqui:
- $ r $ é a distância do ponto na cônica ao foco (pólo).
- $ e $ é a excentricidade da cônica.
- $ d $ é a distância da diretriz ao foco.
No nosso caso, o foco está no pólo, e a diretriz dada é $ r = 2 \sec \theta $. Vamos entender o que isso significa.
Passo 3
A equação da diretriz $ r = 2 \sec \theta $ pode ser reescrita usando identidades trigonométricas. Sabemos que $ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} $, então:
Essa equação representa uma linha reta que é a diretriz da cônica.
Passo 4
Agora, vamos identificar a distância $ d $ da diretriz ao foco. Observando a equação da diretriz $ r = \frac{2}{\cos \theta} $, vemos que a distância perpendicular do pólo (foco) à diretriz é $ d = 2 $.
Passo 5
Sabemos que a excentricidade $ e = \frac{1}{3} $. Vamos substituir $ e $ e $ d $ na equação geral da cônica em coordenadas polares:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando numerador e denominador por 3 para eliminar a fração no denominador:
Resposta
A equação polar da cônica com foco no pólo, excentricidade $ c = \frac{1}{3} $ e diretriz $ r = 2 \sec \theta $ é: