Estima-se que daqui a t meses a população de uma cidade estará variando a uma taxa de P(t)=4+raiz[3]t^2 pessoas por mês. Se a população atual é de 10.000 mil pessoas, qual será a população daqui a 8 meses?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação da população em pessoas por mês, P'(t)=4+raiz[3]t^2, e diz que a população atual (em t=0) é 10 000. A matéria envolvida é cálculo de integrais, porque para achar a população futura a gente precisa integrar a taxa de variação.

Passo 2

A população em t meses é dada por P(t)=P(0)+integral0^tP'(s),ds. Aqui, P(0)=10000 e vamos calcular integral0^8(4+ s^2/3),ds.

Passo 3

Calculo de integral0^84,ds:
integral0^84,ds = 4times 8 = 32
Calculo de integral0^8s^2/3,ds. Usamos a fórmula integral s^n,ds=s^n+1n+1:
integral0^8s^2/3,ds = l[s^5/35/3r]0^8 = 35,8^5/3 = 35times 32 = 965approx 19,2

Passo 4

Somando os dois resultados da integral temos o acréscimo total de população de
32 + 965 = 1605 + 965 = 2565 = 51,2
Logo,
P(8) = P(0) + 51,2 = 10000 + 51,2 = 10051,2

Resposta

Daqui a 8 meses a população será cerca de 10051,2 pessoas.

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