Exercício 1.8.11 Em cada uma das alternativas abaixo, são dadas duas funções, f e g. Então, para cada caso, encontre as seguintes funções compostas f circ g, g circ f, f circ f, g circ g e determine o domínio da cada nova função.
f(x)=x-2 e g(x)=x+7;

Passo 1

A questão dá as funções f(x)=x-2 e g(x)=x+7. O conteúdo aqui é composição de funções: a ideia é aplicar uma função sobre o resultado da outra. Para resolver, vamos usar a definição de composição e analisar o domínio de cada função envolvida.

Passo 2

Pela definição, (fcirc g)(x)=fl(g(x)r). Então primeiro calculamos g(x)=x+7 e depois aplicamos f(u)=u-2 com u=g(x). Temos:
(fcirc g)(x)=f(x+7)=(x+7)-2=x+5
Como tanto g quanto f estão definidas para todo xinR, o domínio de fcirc g é R.

Passo 3

De modo análogo, (gcirc f)(x)=gl(f(x)r). Primeiro f(x)=x-2 e depois aplicamos g(u)=u+7 com u=f(x). Assim:
(gcirc f)(x)=g(x-2)=(x-2)+7=x+5
Novamente, como f e g têm domínio R, temos domínio de gcirc f=R.

Passo 4

Para fcirc f, aplicamos f duas vezes:
(fcirc f)(x)=fl(f(x)r)=f(x-2)=(x-2)-2=x-4
Domínio: como f está definida em todo R, vale dom(fcirc f)=R.

Passo 5

Por fim, gcirc g é aplicar g duas vezes:
(gcirc g)(x)=gl(g(x)r)=g(x+7)=(x+7)+7=x+14
E o domínio de gcirc g também é todo R, pois g vale para qualquer real.

Resposta

  • (f\circ g)(x)=x+5, domínio: R
  • (g\circ f)(x)=x+5, domínio: R
  • (f\circ f)(x)=x-4, domínio: R
  • (g\circ g)(x)=x+14, domínio: R

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