Sabe-se que sen 2 x=2 sen x cos x. Utilize está informação e calcule integral0^pi2 e^2 sen x sen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve funções trigonométricas e exponenciais. O enunciado nos pede para calcular integral0^pi2 e^2 sin x sin 2x , dx. Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica sin 2x = 2 sin x cos x. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e substituição para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão sin 2x usando a identidade dada:
sin 2x = 2 sin x cos x
Substituindo na integral, temos:
integral0^pi2 e^2 sin x cdot 2 sin x cos x , dx
Podemos fatorar o 2:
2 integral0^pi2 e^2 sin x sin x cos x , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 2 sin x
Então, derivando ambos os lados em relação a x:
dudx = 2 cos x implies du = 2 cos x , dx
Observe que o termo 2 cos x , dx aparece na nossa expressão original. Podemos então substituir na integral:
2 integral0^pi2 e^u cdot du2
Os 2 se cancelam:
integral0^pi2 e^u , du

Passo 4

Precisamos mudar os limites de integração para termos tudo em termos de u. Quando x = 0:
u = 2 sin 0 = 0
Quando x = pi2:
u = 2 sin (pi2) = 2 cdot 1 = 2
Então, a integral fica:
integral0^2 e^u , du

Passo 5

Agora, calcular essa integral é bem simples, já que a integral de e^u em relação a u é e^u:
integral0^2 e^u , du = e^u |0^2 = e^2 - e^0
Sabemos que e^0 = 1, então:
e^2 - 1

Resposta

e^2 - 1

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