Nos itens abaixo localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados.
f(x)=2 cos x+sen 2 x, x in[0,4 pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos onde a função $ f(x) = 2 \cos x + \sin 2x $ atinge seus valores máximos e mínimos no intervalo de $ x $ entre $ 0 $ e $ 4\pi $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre extremos absolutos de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, e então avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo para identificar os extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo. Usamos as regras de derivação:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde $ f’(x) = 0 $ ou onde a derivada não existe. Nossa derivada é $ f’(x) = -2 \sin x + 2 \cos 2x $. Vamos igualar a zero:
x
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
f'(x) = 0
Para resolver essa equação, podemos usar a identidade $ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x $:
f'(x) = -2 sin x + 2 cos 2x
Rearranjando:
-2 sin x + 2 cos 2x = 0
Agora, temos uma equação quadrática em $ \sin x $. Vamos resolver:
-sin x + cos 2x = 0 implies cos 2x = sin x
Usando a fórmula quadrática:
cos 2x = 1 - 2 sin^2 x
Então:
1 - 2 sin^2 x = sin x

Passo 4

Agora vamos encontrar os valores de $ x $ no intervalo x que satisfazem $ \sin x = \frac{1}{2} $ ou $ \sin x = -1 $.
Para $ \sin x = \frac{1}{2} $:
[0, 4pi]
Para $ \sin x = -1 $:
sin x = 12
Contudo, dentro de sin x = -1 , os valores são:
sin x = 12

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nesses pontos críticos e nas extremidades do intervalo ($ x = 0 $ e $ x = 4\pi $).
Vamos calcular $ f(x) $ para cada $ x $:
  1. $ x = 0 $:
f(x)
  1. $ x = \frac{\pi}{6} $:
x = 0
  1. $ x = \frac{5\pi}{6} $:
x = 4pi
  1. $ x = \frac{3\pi}{2} $:
f(x)
  1. $ x = \frac{7\pi}{2} $:
x
  1. $ x = \frac{13\pi}{6} $:
x = 0
  1. $ x = \frac{17\pi}{6} $:
f(0) = 2 cos 0 + sin 0 = 2(1) + 0 = 2
  1. $ x = \frac{11\pi}{2} $:
x = pi6
  1. $ x = 4\pi $:
f(pi6) = 2 cos(pi6) + sin(pi3) = 2(raiz32) + raiz32 = 2raiz32 + raiz32 = 3raiz32

Resposta

Os extremos absolutos da função $ f(x) = 2 \cos x + \sin 2x $ no intervalo f(x) = 2 cos x + sin 2x ocorrem nos seguintes pontos:
  • Máximos absolutos:
    • $ x = \frac{\pi}{6} $, $ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} $
    • $ x = \frac{13\pi}{6} $, $ f\left(\frac{13\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} $
    • $ x = \frac{17\pi}{6} $, $ f\left(\frac{17\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} $
  • Mínimos absolutos:
    • $ x = \frac{5\pi}{6} $, $ f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} $
Além disso, nos extremos do intervalo ($ x = 0 $ e $ x = 4\pi $) a função atinge o valor $ 2 $, que não são maiores ou menores que os máximos e mínimos encontrados.

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