Nos itens abaixo localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos onde a função $ f(x) = 2 \cos x + \sin 2x $ atinge seus valores máximos e mínimos no intervalo de $ x $ entre $ 0 $ e $ 4\pi $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre extremos absolutos de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, e então avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo para identificar os extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo. Usamos as regras de derivação:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde $ f’(x) = 0 $ ou onde a derivada não existe. Nossa derivada é $ f’(x) = -2 \sin x + 2 \cos 2x $. Vamos igualar a zero:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Para resolver essa equação, podemos usar a identidade $ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x $:
Rearranjando:
Agora, temos uma equação quadrática em $ \sin x $. Vamos resolver:
Usando a fórmula quadrática:
Então:
Passo 4
Agora vamos encontrar os valores de $ x $ no intervalo
que satisfazem $ \sin x = \frac{1}{2} $ ou $ \sin x = -1 $.
Para $ \sin x = \frac{1}{2} $:
Para $ \sin x = -1 $:
Contudo, dentro de
, os valores são:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nesses pontos críticos e nas extremidades do intervalo ($ x = 0 $ e $ x = 4\pi $).
Vamos calcular $ f(x) $ para cada $ x $:
- $ x = 0 $:
- $ x = \frac{\pi}{6} $:
- $ x = \frac{5\pi}{6} $:
- $ x = \frac{3\pi}{2} $:
- $ x = \frac{7\pi}{2} $:
- $ x = \frac{13\pi}{6} $:
- $ x = \frac{17\pi}{6} $:
- $ x = \frac{11\pi}{2} $:
- $ x = 4\pi $:
Resposta
Os extremos absolutos da função $ f(x) = 2 \cos x + \sin 2x $ no intervalo
ocorrem nos seguintes pontos:
-
Máximos absolutos:
- $ x = \frac{\pi}{6} $, $ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} $
- $ x = \frac{13\pi}{6} $, $ f\left(\frac{13\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} $
- $ x = \frac{17\pi}{6} $, $ f\left(\frac{17\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} $
-
Mínimos absolutos:
- $ x = \frac{5\pi}{6} $, $ f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} $
Além disso, nos extremos do intervalo ($ x = 0 $ e $ x = 4\pi $) a função atinge o valor $ 2 $, que não são maiores ou menores que os máximos e mínimos encontrados.