Quando estimamos distâncias a partir dos dados da velocidade, algumas vezes é necessário usar tempos t0, t1, t2, t3, ldots que não estão igualmente espaçados. Podemos ainda estimar as distâncias usando os períodos de tempo De<a ti=ti-ti-1. Por exemplo, em 7 de maio de 1992, o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS-49, cujo propósito era instalar o satélite de comunicação Intelsat. A tabela, fornecida pela Nasa, mostra os dados da velocidade do ônibus entre o lançamento e a entrada em funcionamento dos foguetes auxiliares. Use estes dados para estimar a altura acima da superfície da Terra do Endeavour 62 segundos depois do lançamento.
Evento Tempo (s) Velocidade (m/s)
Lançamento 0 0
Começo da manobra de inclinação 10 56
Fim da manobra de inclinação 15 97
Regulador de combustível a 89% 20 136
Regulador de combustível a 67% 32 226
Regulador de pressão a 104% 59 404
Pressão dinâmica máxima 62 440
Separação dos foguetes auxiliares 125 1.265

Passo 1

O enunciado fornece medições de velocidade do ônibus espacial em instantes irregulares e pede a altura alcançada em t=62 s. Como altura é a integral da velocidade, vamos aproximar
h(62)approx integral0^62v(t),dt
usando a regra do trapézio em intervalos de comprimentos De<a ti.

Passo 2

Compute os incrementos de tempo De<a ti=ti-ti-1 até t6=62 s:
De<a t1&=10-0=10, De<a t2&=15-10=5, De<a t3&=20-15=5, De<a t4&=32-20=12, De<a t5&=59-32=27, De<a t6&=62-59=3

Passo 3

Para cada intervalo aplicamos
Ai = vi-1+vi2,De<a ti
onde vi é a velocidade no instante ti.

Passo 4

Calculando cada área:
A1&=0+562cdot10=280, A2&=56+972cdot5=382,5, A3&=97+1362cdot5=582,5, A4&=136+2262cdot12=2172, A5&=226+4042cdot27=8505, A6&=404+4402cdot3=1266

Passo 5

Somando todas as áreas obtemos a distância aproximada:
h(62)approx sumi=1^6Ai =280 + 382,5 + 582,5 + 2172 + 8505 + 1266 =13188 m

Resposta

A altura estimada do Endeavour após 62 s é aproximadamente 13188 m (ou seja, cerca de 13,2 km).

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