Estimar a vazão de pico de escoamento superficial na seção de deságue de uma barragem de terra, cuja área de contribuição é 10 \mathrm{~km}^{2}, sabendo-se que, o talvegue principal possui 4,5 \mathrm{~km} de extensão e o desnível entre a cabeceira e a seção da barragem é de 60 m . A área está ocupada da seguinte forma: 50 \% com pastagem, 30 \% com culturas anuais e 20 \% com florestas nativas. A declividade média da bacia é de 9,5 \% e o solo é de textura média (tipo de solo = barro-argiloso-limoso). Adotar período de retorno de 50 anos.
Dados adicionais:
  • Eq. I-D-F do local: i=\frac{1625,5 T^{0,23}}{(t+33)^{0,82}}
  • Estime o tempo de concentração pela Equação de Ven Te Chow
  • Calcule a vazão de pico de escoamento superficial pelo Método Racional Modificado
  • Consulte tabelas fornecidas em aula

Passo 1

O que o problema pede:
  • Estimar o tempo de concentração da bacia pela Equação de Ven Te Chow.
  • Calcular a vazão de pico de escoamento superficial na seção de deságue pelo Método Racional Modificado (usar a intensidade do I‑D‑F para o período de retorno dado).
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Área de contribuição: A=10\\ \mathrm{km^2}.
  • Comprimento do talvegue principal: L=4{,}5\\ \mathrm{km}=4500\\ \mathrm{m}.
  • Desnível entre cabeceira e seção: \Delta H=60\\ \mathrm{m}.
  • Uso do solo: 50\% pastagem, 30\% culturas anuais, 20\% florestas nativas.
  • Declividade média da bacia: S_{\mathrm{média}}=9{,}5\%=0{,}095é (m/m).
  • Tipo de solo: textura média (barro‑argiloso‑limoso) — isto influencia o coeficiente de escoamento.
  • Período de retorno: T=50\\ \text{anos}.
  • Equação I‑D‑F dada (intensidade em \mathrm{mm/h}, duração t em minutos, T em anos):
i(t,T)=\frac{1625{,}5\;T^{0{,}23}}{(t+33)^{0{,}82}}.
Requisitos explícitos do enunciado:
  • Estimar t_c pela Equação de Ven Te Chow.
  • Calcular Q_p pelo Método Racional Modificado (usar i referente a t=t_c).
    Observação: existem tabelas de referência para coeficientes de escoamento; como não tenho acesso às tabelas da sua aula, vou justificar e adotar valores típicos coerentes com o uso do solo e o tipo de solo (explico a escolha no passo específico).

Passo 2

Escolha da fórmula para o tempo de concentração e explicação do que é t_c.
O tempo de concentração (t_c) é o tempo que a chuva superficial demora para percorrer da área mais distante da bacia até a seção de saída; ele serve de duração representativa da chuva para calcular a intensidade crítica no Método Racional. Uma forma muito usada (citada por Ven Te Chow, baseada em Kirpich/Kinzelbach) para bacias pequenas a moderadas é:
t_c\\ (\text{min})=0{,}01947\;L^{0{,}77}\;S^{-0{,}385},
onde
  • L é o comprimento do talvegue principal em metros ( \mathrm{m});
  • S é a declividade média adimensional (m/m);
  • o resultado fica em minutos.
Justificativa de uso: o enunciado manda usar a Equação de Ven Te Chow; esta forma é a expressão prática apresentada em manuais baseados em Chow/Kirpich para tempo de concentração. Vou usar a declividade média da bacia que o enunciado forneceu, S=0{,}095, pois é a informação direta e apropriada para esta fórmula.
Cálculo:
  • L=4500\\ \mathrm{m}.
  • S=0{,}095.
Calculemos passo a passo:
L^{0{,}77}=4500^{0{,}77}\approx 650{,}7,
S^{-0{,}385}=0{,}095^{-0{,}385}\approx 2{,}474.
Agora:
t_c=0{,}01947\times 650{,}7\times 2{,}474 \approx 31{,}32\\ \mathrm{min}.
Converto para horas só para referência:
t_c\approx 31{,}3\\ \mathrm{min}\approx 0{,}522\\ \mathrm{h}.
Breve comentário didático: t_c curto significa que a chuva que importa para o pico é a de curta duração; por isso usamos t=t_c na I‑D‑F.

Passo 3

Calcular a intensidade i correspondente ao período de retorno T=50 anos e duração igual a t_c usando a I‑D‑F dada.
Recordando a fórmula dada:
i(t,T)=\frac{1625{,}5\;T^{0{,}23}}{(t+33)^{0{,}82}}.
Substituindo T=50 e t=t_c=31{,}32\\ \mathrm{min}:
Primeiro calcule T^{0{,}23}:
50^{0{,}23}\approx 2{,}460.
Numerador:
1625{,}5\times 2{,}460 \approx 3998{,}5.
Denominador:
t+33 = 31{,}32+33=64{,}32,
(64{,}32)^{0{,}82}\approx 30{,}34.
Logo
i=\frac{3998{,}5}{30{,}34}\approx 131{,}8\\ \mathrm{mm/h}.
Explicação didática: a intensidade cresce para T maiores e para durações menores; aqui t_c é relativamente curto, resultando numa intensidade alta, típica de tempestades intensas de curta duração.

Passo 4

Estimativa do coeficiente de escoamento C (parte central do Método Racional Modificado) e explicação do que é C.
O coeficiente C representa a fração da chuva que vira escoamento superficial imediato (sem infiltração/evaporação/retenção). Depende de uso do solo, atitude do solo (textura, compactação), inclinação, antecedência de chuva etc. Como não disponho das tabelas da sua aula, adoto valores típicos compatíveis com solo de textura média (barro‑argiloso‑limoso) e condições médias de um período úmido moderado (valor conservador médio):
Valores adotados (explicação curta):
  • Pastagem (solo argiloso‑limoso, uso 50%): C_{\text{pastagem}}\approx 0{,}35. (Pastagem em solo fino/compactado tem escoamento moderado.)
  • Culturas anuais (30%): C_{\text{culturas}}\approx 0{,}50. (Culturas anuais em solo médio geram mais escoamento que pastagem.)
  • Floresta nativa (20%): C_{\text{floresta}}\approx 0{,}15. (Floresta tem menor escoamento.)
Agora a média ponderada:
C = 0{,}50\times 0{,}35 + 0{,}30\times 0{,}50 + 0{,}20\times 0{,}15.
Calcule:
C = 0{,}175 + 0{,}150 + 0{,}030 = 0{,}355 \approx 0{,}36.
Observação didática: se a bacia estivesse muito compactada ou com cultivo intensivo antes da chuva, C seria maior; se houvesse solos muito permeáveis ou floresta mais densa, C seria menor. Aqui escolhi valores médios plausíveis para solos de textura média.

Passo 5

Calcular a vazão de pico Q_p pelo Método Racional Modificado.
Fórmula do Método Racional (forma prática com unidades):
Q_p\\ (\mathrm{m^3/s}) = C\;\times i\\ (\mathrm{mm/h})\;\times A\\ (\mathrm{km^2})\times 0{,}27778,
onde o fator 0{,}27778 vem da conversão \dfrac{1000}{3600}=\dfrac{1}{3{,}6} (mm/h e km^2 para m^3/s). Equivalente prático:
Q_p=\frac{C\;i\;A}{3{,}6}.
Substituindo:
  • C=0{,}355,
  • i=131{,}8\\ \mathrm{mm/h},
  • A=10\\ \mathrm{km^2},
Q_p = \frac{0{,}355\times 131{,}8\times 10}{3{,}6}.
Calcule passo a passo:
0{,}355\times 131{,}8 = 46{,}79,
46{,}79\times 10 = 467{,}9,
Q_p = \frac{467{,}9}{3{,}6}\approx 129{,}97\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando de forma razoável:
Q_p \approx 130{,}0\\ \mathrm{m^3/s}.
Comentário didático: este é o pico de escoamento superficial direto estimado por um procedimento padrão. Lembre que o Método Racional pressupõe chuva uniforme sobre a bacia durante a duração igual a t_c, e que toda a bacia contribui de modo simultâneo ao final; é adequado para bacias pequenas a moderadas — aqui 10\\ \mathrm{km^2} é um limite superior do uso clássico, mas a abordagem modificada e o cuidado com t_c tornam a estimativa prática para projetos preliminares.

Passo 6

Indicação de incertezas e checagem rápida (para te dar confiança na resposta):
  • Sensibilidade ao coeficiente C: se C fosse 0{,}30 (mais conservador negativo), Q_p seria
Q_p=\frac{0{,}30\times 131{,}8\times 10}{3{,}6}\approx 109{,}8\\ \mathrm{m^3/s}.
Se C=0{,}40, Q_p\approx 146{,}6\\ \mathrm{m^3/s}. Ou seja, variação moderada de C muda Q_p em dezenas de \mathrm{m^3/s}.
  • Sensibilidade ao t_c: se em vez de usar S=0{,}095 alguém usasse S=\Delta H/L=60/4500=0{,}0133 (outra interpretação da inclinação), obtém‑se t_c\approx 66{,}9\\ \mathrm{min}, daí i cai e Q_p diminui consideravelmente. Por isso é crucial usar a declividade correta e/ou as tabelas de aula para C.
Recomendação prática para prova/obra: explique claramente as hipóteses (valores adotados de C, escolha de S e a fórmula de t_c) — isso vale pontos e permite discutir margens de segurança.

Resposta

t_c \approx 31{,}3\\ \mathrm{min}
Q_p \approx 130{,}0\\ \mathrm{m^3/s}

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