e considerando n=2,0, determine a equação da soleira para uma descarga de 0,812 m^{3} \cdot s^{-1} medida em um ensaio de laboratório. No experimento, a altura da lâmina de águ sobre a soleira foi de h=0,50 \mathrm{~m} com crista p_{c} de 0,62 \mathrm{~m}. Além disso, encontre a vazão pav uma lâmina máxima de 7 m . Utilizar a correlação de Vatankhah e Khamisabadi (2019), que foi obtida através de análise dimensional e medições realizadas com vertedouros de lei otência, expressa pela equação (1).
Correlação de Vatankhah & Khamisabadi (2019) para o coeficiente de descarga C_{d}: C_{d}=\left(\frac{1}{p}\right)^{0{,}05}\left[0{,}633+0{,}0026\left(\frac{h}{p_{c}}\right)^{0{,}0012}\alpha^{-2{,}16}\right].
Altura da lâmina sobre a soleira \,h_{\rm med}=0{,}50\\ \text{m}.
Altura da crista \,p_{c}=0{,}62\\ \text{m}.
O que o enunciado pede:
determinar a equação da soleira (ou seja, encontrar K e escrever Q(h)=K h^{n}) usando o ensaio fornecido;
calcular a vazão para uma lâmina máxima \,h=7\\ \text{m}.
Observação sobre parâmetros não informados: a fórmula de K depende dos parâmetros p, C e da correlação de C_{d} que ainda precisa de \alpha. O enunciado dá n=2{,}0 (vou adotar a hipótese natural e usual p=n=2{,}0 para poder usar as fórmulas; se p for outro valor numérico, repetir os passos trocando p). A falta do valor de \alpha (e do próprio C) será tratada abaixo: primeiro obtenho K empiricamente a partir do ensaio; depois mostro como usar a fórmula com a correlação para estimar parâmetros e dou uma ilustração numérica assumindo um valor razoável para \alpha (explicando que é uma suposição).
Passo 2
Calcular K empiricamente a partir do ensaio (passo direto, sem precisar de C_{d} ou C). A equação experimental é Q = K h^{n}.
Isolando K: K=\frac{Q}{h^{n}}.
Substituindo os valores medidos com n=2{,}0: K=\frac{0{,}812}{(0{,}50)^{2}}.
Calcule a potência: (0{,}50)^{2}=0{,}25. Portanto K=\frac{0{,}812}{0{,}25}=3{,}248.
Comentário sobre unidades: Q tem unidade \text{m}^{3}\!\cdot\!\text{s}^{-1} e h^{2} tem unidade \text{m}^{2}, logo K tem unidade \text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-1} (m/s) — faz sentido físico: é uma velocidade característica associada à descarga por unidade de h^{2}.
Passo 3
Escrever a equação da soleira com o K empírico encontrado. Substituindo em Q=K h^{n} com n=2{,}0 e K=3{,}248, obtemos a equação empírica do vertedouro usada para prever vazões no mesmo ensaio/condições:
Esta é a resposta direta pedida: a equação que relaciona Q e h na soleira, obtida a partir do ensaio.
Passo 4
Calcular a vazão para uma lâmina máxima h=7\\ \text{m} usando a equação empírica. Basta substituir h=7 em Q(h)=3{,}248\,h^{2}:
Q(7)=3{,}248\cdot 7^{2}=3{,}248\cdot 49.
Calcule o produto: 3{,}248\cdot 49=159{,}152. Arredondando para duas casas decimais (convencional): Q(7)\approx159{,}15\\ \text{m}^{3}\!\cdot\!\text{s}^{-1}.
Passo 5
Agora explico didaticamente como relacionar esse K empírico com a expressão teórica que envolve \Gamma e C_{d}. Primeiro simplifico a fórmula para K quando escolhemos p=2 (hipótese adotada): K=\frac{2 C_{d} \sqrt{2 g}\; \Gamma\!\left(1+\frac{1}{p}\right)\; \Gamma\!\left(\frac{3}{2}\right)}{C^{1 / p}\; \Gamma\!\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{p}\right)}.
Com p=2 temos os argumentos das funções gama: \Gamma(1+1/2)=\Gamma(3/2), \Gamma(3/2) aparece também, e \Gamma(5/2+1/2)=\Gamma(3). Usar identidades conhecidas: \Gamma(3/2)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} e \Gamma(3)=2. Então o produto das duas gammas no numerador é \Gamma(3/2)\Gamma(3/2)=\left(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^{2}=\dfrac{\pi}{4}. Substituindo e simplificando: K=\frac{2 C_{d} \sqrt{2 g}\; \dfrac{\pi}{4}}{C^{1/2}\; 2} = C_{d}\sqrt{2 g}\;\frac{\pi}{4}\; C^{-1/2}.
Portanto, para p=2 a expressão fica simples e útil para comparar com o K empírico:
Isto mostra que, conhecendo C_{d} e C, pode-se prever K teoricamente, ou vice-versa (a partir de K empírico pode-se estimar C se C_{d} for conhecido).
Passo 6
Explicar e usar a correlação de Vatankhah & Khamisabadi para C_{d}. A correlação dada é: C_{d}=\left(\frac{1}{p}\right)^{0{,}05}\left[0{,}633+0{,}0026\left(\frac{h}{p_{c}}\right)^{0{,}0012}\alpha^{-2{,}16}\right].
Interpretando os termos: \left(\tfrac{1}{p}\right)^{0{,}05} é uma correção fraca pelo parâmetro p; o termo dentro dos colchetes é uma base 0{,}633 ajustada por uma pequena dependência com \tfrac{h}{p_{c}} e com \alpha.
Usando os dados do ensaio: \tfrac{h}{p_{c}}=\dfrac{0{,}50}{0{,}62}\approx0{,}80645.
Falta o valor de \alpha no enunciado. Pelo enunciado não é fornecido, então não é possível obter um valor único e exato de C_{d} sem assumir \alpha. Vou proceder com duas ações: (a) mostrar a forma de cálculo simbólica; (b) dar uma ilustração numérica razoável assumindo \alpha=1 (um valor ilustrativo que torna o termo \alpha^{-2{,}16}=1; além disso com \alpha\gtrsim1 o termo corretivo é muito pequeno e o resultado de C_{d} não muda muito). Se houver um valor de \alpha diferente, basta substituir e recalcular.
Logo o colchete fica aproximadamente 0{,}633+0{,}0026\cdot1\cdot 1=0{,}6356. Portanto
C_{d}\approx0{,}9659\cdot 0{,}6356\approx0{,}614.
Comentário: se \alpha for maior (por exemplo \alpha=2), o termo corretivo \alpha^{-2{,}16} é pequeno e C_{d} muda pouco (calculei rapidamente que para \alpha=2 daria C_{d}\approx0{,}612). Ou seja, C_{d} está em torno de 0{,}61 com pouca sensibilidade à \alpha no intervalo típico.
Passo 7
Estimativa do parâmetro C (ilustrativa) a partir do K empírico e do C_{d} estimado. A partir da fórmula simplificada do Passo 5 isolamos C:
K = C_{d}\sqrt{2g}\,\frac{\pi}{4}\; C^{-1/2} \quad\Longrightarrow\quad C^{-1/2}=\frac{K}{C_{d}\sqrt{2g}\,\dfrac{\pi}{4}}.
Agora faço a substituição numérica com g=9{,}81\\ \text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}, K=3{,}248 e C_{d}\approx0{,}614 (valor ilustrativo do Passo 6):
Calcule primeiro o fator F\equiv C_{d}\sqrt{2g}\dfrac{\pi}{4}.
Portanto, com as suposições feitas, obtém-se C\approx0{,}44 (valor ilustrativo). Repare que se \alpha for outro valor próximo, C_{d} muda pouco e C permanece do mesmo porte (variação leve).
Passo 8
Resumo didático e interpretação final (motivação prática para a prova):
Passo prático na prova quando há um ensaio: obtenha K empiricamente com \,K=Q/h^{n}. É rápido e livre de parâmetros desconhecidos.
Se você precisa relacionar com teoria (usar fórmula com \Gamma e C_{d}), verifique quais parâmetros geométricos faltam (p, \alpha, C). Para p=2 a expressão teórica simplifica para \,K=C_{d}\sqrt{2g}\frac{\pi}{4}C^{-1/2}, o que permite estimar C conhecendo K e C_{d}, ou estimar K se C e C_{d} forem conhecidos.
No caso real aqui, sem valor explícito de \alpha a melhor resposta para a equação da soleira e a vazão à lâmina máxima sai diretamente do ensaio (Passos 2–4), e usei a correlação pedida para dar uma estimativa ilustrativa de C_{d} e do parâmetro C.